Theory of Fuzzy Differential Equations and Inclusions

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Theory of Fuzzy Differential Equations and Inclusions......Page 3
Table of Contents......Page 5
Preface......Page 7
1.1 Introduction......Page 10
Table of Contents......Page 0
1.2 Fuzzy Sets......Page 11
1.3 THe Hausdorff Metric......Page 14
Proposition 1.3.4.......Page 16
1.4 Support Functions......Page 17
1.5 The Space En......Page 19
Lemma 1.5.1.......Page 20
Proof.......Page 21
Theorem 1.5.2.......Page 22
Proof.......Page 23
Proof.......Page 24
Proof.......Page 25
1.6 Metric Space......Page 26
Example 1.6.1.......Page 27
Proof.......Page 28
1.7 Note and Comments......Page 30
2.2 Convergence of Fuzzy Sets......Page 31
Proof.......Page 32
Lemma 2.2.3.......Page 33
Proof.......Page 34
Example 2.2.1.......Page 35
Proof.......Page 36
Proof.......Page 38
Case 1.......Page 39
Case 2.......Page 40
Remark 2.2.1.......Page 41
Proof.......Page 42
Proof.......Page 43
Proof.......Page 44
Rernark 2.4.1.......Page 45
Proof.......Page 46
Theorem 2.4.3.......Page 47
Proof.......Page 48
Example 2.4.2.......Page 49
Theorem 2.5.1.......Page 50
Proof.......Page 51
Proof.......Page 52
Proof.......Page 53
Example 2.5.1.......Page 54
2.6 Notes and Comments......Page 55
3.1 Introduction......Page 56
Proof.......Page 57
Example 3.2.1.......Page 58
Proof.......Page 59
Theorem 3.4.1.......Page 60
Proof.......Page 61
Theorem 3.4.3.......Page 63
Corollary 3.4.1.......Page 64
3.5 Convergence of Successive Approximations......Page 65
Proof.......Page 66
Lemma 3.6.1.......Page 68
Proof of Theorem 3.6.1.......Page 69
Proof.......Page 70
Theorem 3.8.1.......Page 71
3.9 Stability Criteria......Page 72
Definition 3.9.1.......Page 74
Proof.......Page 75
3.10 Notes and Comments......Page 76
4.1 Introduction......Page 78
Proof.......Page 79
4.3 Stability Criteria......Page 81
Theorem 4.3.2.......Page 82
Proof.......Page 83
4.4 Nonuniform Stability Criteria......Page 84
Proof.......Page 85
Proof.......Page 87
Remark 4.4.2.......Page 88
4.5 Criteria for Boundedness......Page 89
Theorem 4.5.1.......Page 90
Theorem 4.5.3.......Page 91
Theorem 4.5.4.......Page 92
Proof.......Page 93
4.6 Fuzzy Differential Systems......Page 94
Proof.......Page 96
Corollary 4.6.1.......Page 97
Proof.......Page 98
Proof.......Page 100
4.8 Linear Variation of Parameters Formula......Page 101
4.9 Notes and Comments......Page 104
5.1 Introduction......Page 105
Proof.......Page 106
Theorem 5.2.2.......Page 107
Proof.......Page 108
Proof.......Page 109
Theorem 5.3.1.......Page 110
Theorem 5.3.2.......Page 111
Proof.......Page 112
Corollary 5.3.1.......Page 113
Proof.......Page 114
Proof.......Page 116
Theorem 5.4.2.......Page 117
Proof.......Page 118
Proof.......Page 119
5.5 Hybrid Fuzzy Differential Equations......Page 120
Proof.......Page 121
Proof.......Page 123
Proof.......Page 125
5.7 Boundary Value Problem......Page 126
Proof.......Page 127
Proof.......Page 128
Proof.......Page 129
Theorem 5.8.2.......Page 131
Theorem 5.9.2.......Page 132
Theorem 5.9.3.......Page 133
Definition 5.9.1.......Page 134
Proof.......Page 135
5.10 Notes and Comments......Page 138
6.1 Introduction......Page 139
6.2 Formulation of Fuzzy Diffenrential Inclusions......Page 142
Proof.......Page 143
Theorem 6.2.2.......Page 144
Proof.......Page 145
6.3 Differential Inclusions......Page 146
Example 6.3.1.......Page 148
Theorem 6.3.2.......Page 149
6.4 Fuzzy Differential......Page 150
Proof.......Page 151
Example 6.4.2.......Page 152
Example 6.4.3.......Page 154
Example 6.4.4.......Page 155
6.5 The Variation of Constants Formula......Page 156
Lemma 6.5.1.......Page 157
Example 6.5.1.......Page 158
Example 6.5.2.......Page 160
6.6 Fuzzy Volterra Integral Equations......Page 161
Remark 6.6.1.......Page 163
Remark 6.6.2.......Page 164
Lemma 6.6.1.......Page 165
Proof.......Page 166
Example 6.6.1.......Page 168
Example 6.6.2.......Page 169
Proof.......Page 170
6.7 Notes and Comments......Page 172
Bibliography......Page 173