Résumé :
Dans ce volume, une large place est accordée à diverses approches de l'équation de Painlevé VI: représentation elliptique, classification des solutions algébriques et déformations de « dessins d'enfants » , symétries du groupe de Weyl affine, étude dynamique par des techniques de théorie de Riemann-Hilbert et de géométrie algébrique.
Sont aussi étudiées les équations de Painlevé discrètes et des équations d'ordre supérieur incluant la hiérarchie mKdV et sa paire de Lax et une analyse WKB de systèmes de Noumi-Yamada perturbés.
On y trouve enfin des fondements théoriques en théorie de Galois pour les équations différentielles linéaires et non linéaires, les équations aux différences et aux q-différences et des applications aux équations de Painlevé et à l'intégrabilité ou la non intégrabilité de certains systèmes hamiltoniens.
Mots clefs : Connexion parabolique stable, coordonnées canoniques, coordonnées de Darboux, correspondance de Riemann-Hilbert, déformation isomonodromique, dessins d'enfant, équations aux q-différences, équations de Painlevé, équations de Painlevé discrètes, équations de Painlevé d'ordre supérieur, équations de Schlesinger, espace de modules, espace des configurations, flot isomonodromique, flot de Painlevé, flot de Riccati, fonction algébrique, fonction elliptique, fonction hyperelliptique, fonction thêta, groupe de tresses, groupe de Weyl affine, groupe modulaire, systèmes hamiltoniens, hamiltonien de Hénon-Heiles, hiérarchies, intégrabilité, méthode de conjugaison, points tournants simples de première espèce, réflexions complexes, relations de contiguïté, résolution des singularités, séparation de variables, singularité simple, solutions platoniques, solutions sans paramètre, sommabilité, surface cubique, symétries d'Okamoto, systèmes de Noumi-Yamada, théorème de réduction locale, transformation de Bäcklund, transformation de Cremona, transformation de Schlesinger, théorie de Galois, groupe de Galois différentiels
Abstract:
Asymptotic theories and Painlevé equations
The major part of this volume is devoted to the study of the VIth Painlevé equation through a variety of approaches, namely elliptic representation, the classification of algebraic solutions and so-called ``dessins d'enfants'' deformations, affine Weyl group symmetries and dynamics using the techniques of Riemann-Hilbert theory and those of algebraic geometry.
Discrete Painlevé equations and higher order equations including the mKdV hierarchy and its Lax pair and a WKB analysis of perturbed Noumi-Yamada systems are given a place of study, as well as theoretical settings in Galois theory for linear and non-linear differential equations, difference and q-difference equations with applications to Painlevé equations and to integrability or non-integrability of certain Hamiltonian systems.
Key words: -parameter solutions, affine Weyl group, algebraic function, Bäcklund transformation, braid group, canonical coordinates, configuration space, complex reflections, conjugacy method, contiguity relations, cubic surface, Cremona transformation, Darboux coordinates, dessin d'enfant, differential Galois group, discrete Painlevé equation, elliptic function, Galois theory, Hamiltonian dynamics, Hamiltonian systems, Hénon-Heiles Hamiltonian, hyperelliptic, hierarchies, higher order Painlevé equations, integrability, isomonodromy problems, isomonodromic deformations, isomonodromic flow, Lax pair, linearisable equations, local reduction theorem, modular group, moduli space, monodromy, Noumi-Yamada systems, Okamoto symmetries, Painlevé VI, Painlevé equations, Painlevé flow, Painlevé property, Painlevé transcendents, platonic solutions, q-difference equations, resolution of singularities, Riccati flow, Riemann-Hilbert correspondence, Schlesinger equations, Schlesinger transformation, simple singularity, simple turning points of the first kind, separation of variables, stable parabolic connection
Class. math. : Primaire 12H05, 12H10, 13B05, 14D20, 17B65, 30E05, 30E99, 33D10, 33E17, 34M15, 34M55, 34M60, 37J30, 39A10, 39A13, 39A20, 39B22, 40G10, 58H05 ; Secondaire 14E07, 14H52, 14N20, 32G34, 32S40, 33E17, 34E20, 34M35, 34M40, 34M55, 37J35
Table of Contents
* P. Boalch -- Six results on Painlevé VI
* P. A. Clarkson -- Special polynomials associated with rational and algebraic solutions of the Painlevé equations
* P. A. Clarkson, N. Joshi, and M. Mazzocco -- The Lax pair for the mKdV hierarchy
* R. Conte, M. Musette, and C. Verhoeven -- Painlevé property of the Hénon- Heiles Hamiltonians
* D. Guzzetti -- The elliptic representation of the sixth Painlevé equation
* M. Inaba, K. Iwasaki, and M.-H. Saito -- Dynamics of the sixth Painlevé equation
* K. Kajiwara, T. Masuda, M. Noumi, Y. Ohta, and Y. Yamada -- Point configurations, Cremona transformations and the elliptic difference Painlevé equation
* A. V. Kitaev -- Remarks toward a classification of RS42(3)-transformations and algebraic solutions of the sixth Painlevé equation
* J. Morales-Ruiz -- A remark about the Painlevé transcendents
* A. Ramani, B. Grammaticos, and T. Tamizhmani -- On the alternate discrete Painlevé equations and related systems
* J. Sauloy -- Isomonodromy for complex linear q-difference equations
* Y. Takei -- On a local reduction of a higher order Painlevé equation and its underlying Lax pair near a simple turning point of the first kind
* H. Umemura -- Galois theory and Painlevé equations
* C. Zhang -- Solutions asymptotiques et méromorphes d'equations aux q-différences
* Programme
* Liste des participants
