Author(s): Barrett O'Neill
Year: 1983
Language: English
Pages: 468
SEMI-RIEMANNIAN GEOMETRY......Page 4
Copyright Page......Page 5
CONTENTS......Page 6
Preface......Page 12
Notation and Terminology......Page 14
Smooth Manifolds......Page 16
Smooth Mappings......Page 19
Tangent Vectors......Page 21
Differential Maps......Page 24
Curves......Page 25
Vector Fields......Page 27
One-Forms......Page 29
Submanifolds......Page 30
Immersions and Submersions......Page 34
Topology of Manifolds......Page 36
Some Special Manifolds......Page 39
Integral Curves......Page 42
Basic Algebra......Page 49
Tensor Fields......Page 50
Interpretations......Page 51
Tensors at a Point......Page 52
Tensor Components......Page 54
Contraction......Page 55
Covariant Tensors......Page 57
Tensor Derivations......Page 58
Symmetric Bilinear Forms......Page 61
Scalar Products......Page 62
CHAPTER 3. SEMI-RIEMANNIAN MANIFOLDS......Page 69
Isometries......Page 73
The Levi-Civita Connection......Page 74
Parallel Translation......Page 80
Geodesics......Page 82
The Exponential Map......Page 85
Curvature......Page 89
Sectional Curvature......Page 92
Semi-Riemannian Surfaces......Page 95
Type-Changing and Metric Contraction......Page 96
Frame Fields......Page 99
Some Differential Operators......Page 100
Ricci and Scalar Curvature......Page 102
Semi-Riemannian Product Manifolds......Page 104
Local Isometries......Page 105
Levels of Structure......Page 108
Tangents and Normals......Page 112
The Induced Connection......Page 113
Geodesics in Submanifolds......Page 117
Totally Geodesic Submanifolds......Page 119
Semi-Riemannian Hypersurfaces......Page 121
Hyperquadrics......Page 123
The Codazzi Equation......Page 129
Totally Umbilic Hypersurfaces......Page 131
The Normal Connection......Page 133
A Congruence Theorem......Page 135
Isometric Immersions......Page 136
Two-Parameter Maps......Page 137
The Gauss Lemma......Page 141
Convex Open Sets......Page 144
Arc Length......Page 146
Riemannian Distance......Page 147
Riemannian Completeness......Page 153
Lorentz Causal Character......Page 155
Timecones......Page 158
Local Lorentz Geometry......Page 161
Geodesics in Hyperquadrics......Page 164
Geodesics in Surfaces......Page 165
Completeness and Extendibility......Page 169
Newtonian Space and Time......Page 173
Newtonian Space–Time......Page 175
Minkowski Spacetime......Page 178
Minkowski Geometry......Page 179
Particles Observed......Page 182
Some Relativistic Effects......Page 186
Lorentz–Fitzgerald Contraction......Page 189
Energy–Momentum......Page 191
Collisions......Page 194
An Accelerating Observer......Page 196
Deck Transformations......Page 200
Orbit Manifolds......Page 202
Orientability......Page 204
Semi-Riemannian Coverings......Page 206
Volume Elements......Page 209
Vector Bundles......Page 212
Local Isometries......Page 215
Matched Coverings......Page 218
Warped Products......Page 219
Warped Product Geodesics......Page 222
Curvature of Warped Products......Page 224
Semi-Riemannian Submersions......Page 227
Jacobi Fields......Page 230
Tidal Forces......Page 233
Locally Symmetric Manifolds......Page 234
Isometries of Normal Neighborhoods......Page 236
Symmetric Spaces......Page 239
Simply Connected Space Forms......Page 242
Transvections......Page 246
Semiorthogonal Groups......Page 248
Some Isometry Groups......Page 254
Time-Orientability and Space-Orientability......Page 255
Linear Algebra......Page 257
Space Forms......Page 258
Killing Vector Fields......Page 264
The Lie Algebra i(M)......Page 267
I( M ) as Lie Group......Page 269
Homogeneous Spaces......Page 272
First Variation......Page 278
Second Variation......Page 281
The Index Form......Page 283
Conjugate Points......Page 285
Local Minima and Maxima......Page 287
Some Global Consequences......Page 292
The Endmanifold Case......Page 295
Focal Points......Page 296
Applications......Page 301
Variation of E......Page 303
Focal Points along Null Geodesics......Page 305
A Causality Theorem......Page 308
More about Lie Groups......Page 315
Bi-Invariant Metrics......Page 319
Coset Manifolds......Page 321
Reductive Homogeneous Spaces......Page 325
Symmetric Spaces......Page 330
Riemannian Symmetric Spaces......Page 334
Duality......Page 336
Some Complex Geometry......Page 338
Foundations......Page 347
The Einstein Equation......Page 351
Perfect Fluids......Page 352
Robertson–Walker Spacetimes......Page 356
The Robertson–Walker Flow......Page 360
Robertson–Walker Cosmology......Page 362
Friedmann Models......Page 365
Geodesics and Redshift......Page 368
Observer Fields......Page 373
Static Spacetimes......Page 375
Building the Model......Page 379
Geometry of N and B......Page 383
Schwarzschild Observers......Page 386
Schwarzschild Geodesics......Page 387
Free Fall Orbits......Page 389
Perihelion Advance......Page 393
Lightlike Orbits......Page 395
Stellar Collapse......Page 399
The Kruskal Plane......Page 401
Kruskal Spacetime......Page 404
Black Holes......Page 407
Kruskal Geodesics......Page 410
CHAPTER 14. CAUSALITY IN LORENTZ MANIFOLDS......Page 416
Causality Relations......Page 417
Quasi-Limits......Page 419
Causality Conditions......Page 422
Time Separation......Page 424
Achronal Sets......Page 428
Cauchy Hypersurfaces......Page 430
Warped Products......Page 432
Cauchy Developments......Page 434
Spacelike Hypersurfaces......Page 440
Cauchy Horizons......Page 443
Hawking’s Singularity Theorem......Page 446
Penrose’s Singularity Theorem......Page 449
APPENDIX A. FUNDAMENTAL GROUPS AND COVERING MANIFOLDS......Page 456
APPENDIX B. LIE GROUPS......Page 461
Lie Algebras......Page 462
Lie Exponential Map......Page 464
The Classical Groups......Page 465
APPENDIX C. NEWTONIAN GRAVITATION......Page 468
References......Page 471
Index......Page 474
