This book provides an elementary, complete account of quasi-Frobenius rings at a level allowing researchers and graduate students to gain entry to the field. A ring is called quasi-Frobenius if it is "right" or "left" selfinjective, and "right" or "left" artinian (all four combinations are equivalent). The study of these rings grew out of the theory of representations of a finite group as a group of matrices over a field, and the present extent of the theory is wide-ranging.
Author(s): W. K. Nicholson, M. F. Yousif,
Series: Cambridge Tracts in Mathematics
Publisher: Cambridge University Press
Year: 2003
Language: English
Pages: 326
Cover......Page 1
Half-title......Page 3
Title......Page 7
Copyright......Page 8
Dedication......Page 9
Contents......Page 11
List of Symbols......Page 15
Preface......Page 17
1 Background......Page 21
1.1. Injective Modules......Page 22
1.2. Relative Injectivity......Page 26
1.3. Continuous Modules......Page 29
1.4. Quasi-Continuous Modules......Page 34
1.5. Quasi-Frobenius Rings......Page 40
1.6. Pseudo-Frobenius Rings......Page 49
Notes on Chapter 1......Page 54
2 Mininjective Rings......Page 56
2.1. Definition and Examples......Page 57
2.2. Morita Invariance......Page 62
2.3. Minsymmetric Rings......Page 66
2.4. Duality......Page 69
2.5. The Kasch Condition......Page 71
2.6. Minannihilator Rings......Page 72
2.7. Universally Mininjective Rings......Page 73
Notes on Chapter 2......Page 74
3 Semiperfect Mininjective Rings......Page 76
3.1. Basic Properties......Page 77
3.2. Minfull Rings......Page 82
3.3. Nakayama Permutations......Page 87
3.4. Min-PF Rings......Page 88
3.5. Annihilator Chain Conditions......Page 90
Notes on Chapter 3......Page 97
4 Min-CS Rings......Page 98
4.1. Semiperfect Min-CS Rings......Page 99
4.2. Continuity......Page 104
4.3. Quasi-Frobenius Rings......Page 108
Notes on Chapter 4......Page 114
5 Principally Injective and FP Rings......Page 115
5.1. Principally Injective Rings......Page 116
5.2. Kasch P-Injective Rings......Page 122
5.3. Maximal Left Ideals......Page 123
5.4. GPF Rings......Page 127
5.5. Morita Invariance and FP-Injectivity......Page 129
5.6. FP-Injective Rings......Page 132
5.7. Semilocal Mininjective Rings......Page 137
5.8. FP Rings......Page 139
5.9. Group Rings......Page 146
Notes on Chapter 5......Page 148
6 Simple Injective and Dual Rings......Page 150
6.1. Examples......Page 151
6.2. Matrix Rings......Page 154
6.3. The Kasch Condition......Page 158
6.4. Dual Rings......Page 162
6.5. The AB5 Condition......Page 165
6.6. Ikeda–Nakayama Rings......Page 168
6.7. Applications to Quasi-Frobenius Rings......Page 172
6.8. The Second Socle......Page 179
Notes on Chapter 6......Page 182
7 FGF Rings......Page 184
7.1. FGF Rings and CF Rings......Page 185
7.2. C2 Rings......Page 187
7.3. The Gómez Pardo–Guil Asensio Theorem......Page 193
7.4. Weakly Continuous Rings......Page 203
Examples.......Page 206
7.5. The Faith–Walker Theorems......Page 211
Notes on Chapter 7......Page 218
8 Johns Rings......Page 221
8.1. On a Theorem of Ginn and Moss......Page 222
8.2. Right Johns Rings......Page 224
8.3. The Faith–Menal Counterexample......Page 229
Notes on Chapter 8......Page 232
9.1. Generalities......Page 234
9.2. The Main Theorem......Page 236
9.3. Some Examples......Page 240
9.4. Other Properties of R = [D, V, P]......Page 245
Notes on Chapter 9......Page 249
A.1. Additive Equivalence......Page 251
A.2. Morita Invariants......Page 255
A.3. Tensor Products......Page 260
A.4. Morita Contexts......Page 263
A.5. Morita Equivalence......Page 266
Notes on Appendix A......Page 271
B.1. Semiperfect Rings......Page 272
B.2. Projective Covers......Page 280
B.3. Supplements......Page 284
B.4. Perfect Rings......Page 287
B.5. Semiregular Rings......Page 294
Notes on Appendix B......Page 304
C The Camps–Dicks Theorem......Page 306
Notes on Appendix C......Page 309
Questions......Page 311
Bibliography......Page 313
Index......Page 323
