Probabilistic Metric Spaces

Title Page......Page 1
Copyright Page......Page 3
Contents......Page 4
Contents by Page Numbers......Page 380
Preface to the Dover Edition......Page 8
Preface......Page 9
Special Symbols......Page 12
1.1. Beginnings......Page 16
1.2. Menger, 1942......Page 18
1.3. Wald, 1943......Page 19
1.4. Developments, 1956–1960......Page 20
1.5. Some Examples......Page 22
1.6. Šerstnev, 1962......Page 25
1.7. Random Metric Spaces......Page 26
1.8. Topologies......Page 29
1.9. Tools......Page 31
1.10. Postscript......Page 34
2.1. Sets and Functions......Page 36
2.2. Functions on Intervals......Page 40
2.3. Probabilities, Integrals, Random Variables......Page 43
2.4. Binary Operations......Page 47
3.1. Metric and Related Spaces......Page 50
3.2. Isometries, Homotheties, Metric Transforms......Page 53
3.3. Betweenness......Page 57
3.4. Minkowski Metrics......Page 58
3.5. Topological Structures......Page 59
4.1. Spaces of Distribution Functions......Page 65
4.2. The Modified Lévy Metric......Page 67
4.3. The Space of Distance Distribution Functions......Page 70
4.4. Quasi-Inverses of Nondecreasing Functions......Page 72
5.1. Associative Binary Operations......Page 78
5.2. Generators and Ordinal Sums......Page 79
5.3. Associative Functions on Intervals......Page 82
5.4. Representation of Archimedean Functions......Page 87
5.5. Triangular Norms, Additive and Multiplicative Generators......Page 91
5.6. Examples......Page 96
5.7. Conorms and Composition Laws......Page 100
5.8. Open Problems......Page 104
6.1. Fundamental Properties of n-Increasing Functions......Page 106
6.2. Joint Distribution Functions, Subcopulas, and Copulas......Page 110
6.3. Copulas and t-Norms......Page 114
6.4. Dual Copulas......Page 118
6.5. Copulas and Random Variables......Page 119
6.6. Margins of Copulas......Page 122
6.7. Open Problems......Page 123
7.1. Introduction......Page 127
7.2. The Operations τT, L......Page 130
7.3. The Operations τT*, L......Page 137
7.4. The Operations σC, L......Page 139
7.5. The Operations ρC, L......Page 142
7.6. Derivability and Nonderivability from Functions of Random Variables......Page 146
7.7. Duality......Page 149
7.8. The Conjugate Transform......Page 152
7.9. Open Problems......Page 156
8.1. Probabilistic Metric Spaces in General......Page 161
8.2. Transformed Triangle Inequalities and Derived Metrics......Page 164
8.3. Equilateral Spaces......Page 169
8.4. Simple Spaces......Page 170
8.5. Ellipse m-Metrics and Hysteresis......Page 172
8.6. α-Simple Spaces......Page 177
8.7. Best-Possible Triangle Inequalities......Page 179
8.8. Open Problems......Page 181
9.1. E-Spaces......Page 182
9.2. Pseudometrically Generated Spaces, Sherwood’s Theorem......Page 185
9.3. Random Metric Spaces......Page 189
9.4. The Probability of the Triangle Inequality......Page 193
9.5. W-Spaces......Page 197
9.6. Open Problems......Page 198
10.1. Introduction......Page 199
10.2. Consistency, Triangle Inequalities......Page 202
10.3. C-Spaces......Page 204
10.4. Homogeneous and Semihomogeneous C-Spaces......Page 209
10.5. Moments and Metrics......Page 211
10.6. Normal C-Spaces......Page 215
10.7. Moments in Normal C-Spaces......Page 218
10.8. Open Problems......Page 219
11.1. Transformation-Generated Spaces......Page 221
11.2. Measure-Preserving Transformations......Page 225
11.3. Mixing Transformations......Page 228
11.4. Recurrence......Page 231
11.5. E-Processes: The Case of Markov Chains......Page 234
11.6. Open Problems......Page 238
12.1. The Strong Topology and Strong Uniformity......Page 240
12.2. Uniform Continuity of the Distance Function......Page 245
12.3. Examples......Page 248
12.4. The Probabilistic Diameter......Page 251
12.5. Completion of Probabilistic Metric Spaces......Page 252
12.6. Contraction Maps......Page 254
12.7. Product Spaces......Page 260
12.8. Countable Products......Page 264
12.9. The Probabilistic Hausdorff Distance......Page 266
12.10. Discemibility Relations......Page 268
12.11. Open Problems......Page 270
13.1. Profile Closures......Page 272
13.2. Distinguishability......Page 275
14.1. Wald Betweenness......Page 280
14.2. Transform Betweenness......Page 285
14.3. Menger Betweenness......Page 286
14.4. Probabilistic Betweenness......Page 288
14.5. Open Problems......Page 290
15.1. Probabilistic Normed Spaces......Page 292
15.2. Probabilistic Inner Product Spaces......Page 297
15.3. Probabilistic Topologies......Page 299
15.4. Probabilistic Information Spaces......Page 303
15.5. Generalized Metric Spaces......Page 308
References......Page 311
Index......Page 327
Errata......Page 347
Notes......Page 350
Supplementary References......Page 372