Multiplicative Theory of Ideals (Pure & Applied Mathematics)

MULTIPLICATIVE THEORY OF IDEALS......Page 4
Copyright Page......Page 5
Contents......Page 8
Preface......Page 12
Prerequisites......Page 14
1 Rings and Modules......Page 18
2 Chain Conditions......Page 25
3 Direct Sums......Page 29
4 Tensor Products......Page 32
5 Flat Modules......Page 38
Exercises......Page 44
1 Operations on Ideals and Submodules......Page 53
2 Primary Submodules......Page 56
3 Noetherian Rings......Page 61
4 Uniqueness Results for Primary Decompositions......Page 65
Exercises......Page 69
1 Definition......Page 78
2 Extension and Contraction of Ideals......Page 83
3 Properties of Rings of Quotients......Page 88
Exercises......Page 91
1 Definition of Integral Dependence......Page 99
2 Integral Dependence and Prime Ideals......Page 101
3 Integral Dependence and Flat Modules......Page 105
4 Almost Integral Dependence......Page 109
Exercises......Page 111
1 The Definition of a Valuation Ring......Page 116
2 Ideal Theory in Valuation Rings......Page 122
3 Valuations......Page 124
4 Prolongation of Valuations......Page 131
Exercises......Page 135
1 Fractional Ideals......Page 141
2 Prüfer Domains......Page 143
3 Overrings of Prüfer Domains......Page 149
4 Dedekind Domains......Page 151
5 Extension of Dedekind Domains......Page 157
Exercises......Page 161
1 The Krull Dimension......Page 173
2 The Krull Dimension of a Polynomial Ring......Page 178
3 Valuative Dimension......Page 181
Exercises......Page 185
1 Krull Domains......Page 188
2 Essential Valuations......Page 196
3 The Divisor Class Group......Page 202
4 Factorial Rings......Page 207
Exercises......Page 211
1 Almost Dedekind Domains......Page 218
2 ZPI-Rings......Page 222
3 Multiplication Rings......Page 226
4 Almost Multiplication Rings......Page 233
Exercises......Page 237
1 Valuation Pairs......Page 243
2 Counterexamples......Page 249
3 Large Quotient Rings......Page 251
4 Prüfer Rings......Page 253
Exercises......Page 261
Appendix: Decomposition of ideals in Noncommutative Rings......Page 269
Exercises......Page 280
Bibliography......Page 283
Subject Index......Page 311
Pure and Applied Mathematics: A Series of Monographs and Textbooks......Page 316