Mathematics for Finance an introduction to Financial Engineering

1. Introduction: A Simple Market Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Basic Notions and Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 No-Arbitrage Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 One-Step Binomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Risk and Return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Forward Contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Call and Put Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Managing Risk with Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Risk-Free Assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1 Time Value of Money . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Simple Interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2 Periodic Compounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 Streams of Payments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.4 Continuous Compounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.5 How to Compare Compounding Methods . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Money Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1 Zero-Coupon Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2 Coupon Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.3 Money Market Account . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3. Risky Assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1 Dynamics of Stock Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.2 Expected Return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Binomial Tree Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
vii
viii Contents
3.2.1 Risk-Neutral Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.2 Martingale Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Other Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.1 Trinomial Tree Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.2 Continuous-Time Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4. Discrete Time Market Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1 Stock and Money Market Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1 Investment Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.2 The Principle of No Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.3 Application to the Binomial Tree Model . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1.4 Fundamental Theorem of Asset Pricing . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Extended Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5. Portfolio Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1 Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Two Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.1 Risk and Expected Return on a Portfolio . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3 Several Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.1 Risk and Expected Return on a Portfolio . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.2 Efficient Frontier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4 Capital Asset Pricing Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4.1 Capital Market Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4.2 Beta Factor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4.3 Security Market Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6. Forward and Futures Contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.1 Forward Contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.1.1 Forward Price. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.1.2 Value of a Forward Contract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.2 Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.2.1 Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.2.2 Hedging with Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7. Options: General Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.1 Definitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.2 Put-Call Parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.3 Bounds on Option Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.3.1 European Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.3.2 European and American Calls on Non-Dividend Paying
Stock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.3.3 American Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Contents ix
7.4 Variables Determining Option Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.4.1 European Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.4.2 American Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.5 Time Value of Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8. Option Pricing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.1 European Options in the Binomial Tree Model . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.1.1 One Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.1.2 Two Steps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.1.3 General N-Step Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.1.4 Cox–Ross–Rubinstein Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.2 American Options in the Binomial Tree Model . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.3 Black–Scholes Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9. Financial Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.1 Hedging Option Positions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.1.1 Delta Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.1.2 Greek Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.2 Hedging Business Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.2.1 Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.2.2 Case Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.3 Speculating with Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.3.1 Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.3.2 Case Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10. Variable Interest Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10.1 Maturity-Independent Yields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
10.1.1 Investment in Single Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
10.1.2 Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
10.1.3 Portfolios of Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.1.4 Dynamic Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
10.2 General Term Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
10.2.1 Forward Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
10.2.2 Money Market Account . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11. Stochastic Interest Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
11.1 Binomial Tree Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
11.2 Arbitrage Pricing of Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
11.2.1 Risk-Neutral Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
11.3 Interest Rate Derivative Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11.3.1 Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
x Contents
11.3.2 Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
11.3.3 Caps and Floors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
11.4 Final Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Glossary of Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307