Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrodinger Operators

Preface......Page 8
Part 0. Preliminaries......Page 12
0.1. Warm up: Metric and topological spaces......Page 14
0.2. The Banach space of continuous functions......Page 21
0.3. The geometry of Hilbert spaces......Page 25
0.4. Completeness......Page 30
0.5. Bounded operators......Page 31
0.6. Lebesgue Lp spaces......Page 33
0.7. Appendix: The uniform boundedness principle......Page 38
Part 1. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics......Page 40
1.1. Hilbert spaces......Page 42
1.2. Orthonormal bases......Page 44
1.3. The projection theorem and the Riesz lemma......Page 47
1.4. Orthogonal sums and tensor products......Page 49
1.5. The C* algebra of bounded linear operators......Page 51
1.6. Weak and strong convergence......Page 53
1.7. Appendix: The Stone--Weierstraß theorem......Page 55
2.1. Some quantum mechanics......Page 58
2.2. Self-adjoint operators......Page 61
2.3. Resolvents and spectra......Page 72
2.4. Orthogonal sums of operators......Page 78
2.5. Self-adjoint extensions......Page 79
2.6. Appendix: Absolutely continuous functions......Page 83
3.1. The spectral theorem......Page 86
3.2. More on Borel measures......Page 96
3.3. Spectral types......Page 100
3.4. Appendix: The Herglotz theorem......Page 102
4.1. Integral formulas......Page 106
4.2. Commuting operators......Page 109
4.3. The min-max theorem......Page 112
4.4. Estimating eigenspaces......Page 113
4.5. Tensor products of operators......Page 114
5.1. The time evolution and Stone's theorem......Page 116
5.2. The RAGE theorem......Page 119
5.3. The Trotter product formula......Page 124
6.1. Relatively bounded operators and the Kato--Rellich theorem......Page 126
6.2. More on compact operators......Page 128
6.3. Hilbert--Schmidt and trace class operators......Page 131
6.4. Relatively compact operators and Weyl's theorem......Page 136
6.5. Strong and norm resolvent convergence......Page 139
Part 2. Schrödinger Operators......Page 144
7.1. The Fourier transform......Page 146
7.2. The free Schrödinger operator......Page 149
7.3. The time evolution in the free case......Page 151
7.4. The resolvent and Green's function......Page 152
8.1. Position and momentum......Page 154
8.2. Angular momentum......Page 156
8.3. The harmonic oscillator......Page 159
9.1. Sturm-Liouville operators......Page 162
9.2. Weyl's limit circle, limit point alternative......Page 166
9.3. Spectral transformations......Page 172
10.1. Self-adjointness and spectrum......Page 180
10.2. The hydrogen atom......Page 181
10.3. Angular momentum......Page 184
10.4. The eigenvalues of the hydrogen atom......Page 187
10.5. Nondegeneracy of the ground state......Page 189
11.1. Self-adjointness......Page 192
11.2. The HVZ theorem......Page 194
12.1. Abstract theory......Page 200
12.2. Incoming and outgoing states......Page 203
12.3. Schrödinger operators with short range potentials......Page 205
Part 3. Appendix......Page 210
A.1. Borel measures in a nut shell......Page 212
A.2. Extending a premasure to a measure......Page 216
A.3. Measurable functions......Page 221
A.4. The Lebesgue integral......Page 223
A.5. Product measures......Page 227
A.6. Decomposition of measures......Page 230
A.7. Derivatives of measures......Page 232
Bibliography......Page 236
Glossary of notations......Page 238
Index......Page 240