Non-Archimedean functional analysis, where alternative but equally valid number systems such as p-adic numbers are fundamental, is a fast-growing discipline widely used not just within pure mathematics, but also applied in other sciences, including physics, biology and chemistry. This book is the first to provide a comprehensive treatment of non-Archimedean locally convex spaces. The authors provide a clear exposition of the basic theory, together with complete proofs and new results from the latest research. A guide to the many illustrative examples provided, end-of-chapter notes and glossary of terms all make this book easily accessible to beginners at the graduate level, as well as specialists from a variety of disciplines.
Author(s): C. Perez-Garcia, W. H. Schikhof
Series: Cambridge Studies in Advanced Mathematics 119
Edition: 1
Publisher: Cambridge University Press
Year: 2010
Language: English
Pages: 487
Cover......Page 1
About......Page 2
Cambridge Studies in Advanced Mathematics 119......Page 3
Locally Convex Spaces over Non-Archimedean Valued Fields......Page 4
0521192439......Page 5
Contents......Page 8
Preface......Page 12
1.1 Ultrametric spaces�����������������������������......Page 16
1.2 Ultrametric fields�����������������������������......Page 20
1.3 Notes����������������......Page 27
2 Normed spaces����������������������......Page 29
2.1 Basics�����������������......Page 30
2.2 Orthogonality������������������������......Page 37
2.3 Spaces of countable type�����������������������������������......Page 43
2.4 The absence of Hilbert space���������������������������������������......Page 52
2.5 Examples of Banach spaces������������������������������������......Page 56
2.6 Notes����������������......Page 93
3 Locally convex spaces������������������������������......Page 96
3.1 Seminorms and convexity����������������������������������......Page 98
3.2 Absolutely convex sets of countable type���������������������������������������������������......Page 105
3.3 Definition of a locally convex space�����������������������������������������������......Page 106
3.4 Basic facts and constructions����������������������������������������......Page 112
3.5 Metrizable and Frechet spaces......Page 123
3.6 Bounded sets�����������������������......Page 127
3.7 Examples of locally convex spaces��������������������������������������������......Page 129
3.8 Compactoids����������������������......Page 158
3.9 Compactoidity vs orthogonality�����������������������������������������......Page 173
3.10 Characterization of compactoids in normed spaces by means of t-frames���������������������������������������������������������������������������������......Page 180
3.11 Notes�����������������......Page 183
4 The Hahn-Banach Theorem......Page 185
4.1 A first Hahn-Banach Theorem: spherically complete scalar fields......Page 186
4.2 A second Hahn-Banach Theorem: spaces of countable type......Page 190
4.3 Examples of spaces (strictly) of countable type����������������������������������������������������������......Page 197
4.4 A third Hahn-Banach Theorem: polar spaces......Page 207
4.5 Notes����������������......Page 213
5.1 Weak topologies and dual-separating spaces�����������������������������������������������������......Page 225
5.2 Weakly closed convex sets������������������������������������......Page 228
5.3 Weak topologies and spaces of finite type����������������������������������������������������......Page 233
5.4 Weakly bounded sets������������������������������......Page 239
5.5 Weakly convergent sequences��������������������������������������......Page 243
5.6 Weakly (pre)compact sets and "orthogonality"......Page 247
5.7 Admissible topologies and the Mackey topology��������������������������������������������������������......Page 250
5.8 Notes����������������......Page 254
6.1 Basics�����������������......Page 259
6.2 Permanence properties��������������������������������......Page 265
6.3 Notes����������������......Page 267
7 Barrelledness and reflexivity��������������������������������������......Page 269
7.1 Polar barrelledness, hereditary properties�����������������������������������������������������......Page 270
7.2 Examples of (polarly) barrelled spaces�������������������������������������������������......Page 277
7.3 The weak star and the strong topology on the dual������������������������������������������������������������......Page 287
7.4 Reflexivity����������������������......Page 290
7.5 Examples of reflexive spaces���������������������������������������......Page 297
7.6 Metrizability considerations in duality theory���������������������������������������������������������......Page 309
7.7 Notes����������������......Page 315
8 Montel and nuclear spaces����������������������������������......Page 316
8.1 Compactoid operators�������������������������������......Page 317
8.2 Intermezzo: a curious property of l^\infty......Page 323
8.3 Compactifying operators����������������������������������......Page 324
8.4 (Semi-)Montel spaces�������������������������������......Page 326
8.5 Nuclear spaces�������������������������......Page 335
8.6 Semi-Montelness, nuclearity and metrizability��������������������������������������������������������......Page 339
8.7 Examples of (semi-)Montel and nuclear spaces�������������������������������������������������������......Page 343
8.8 Notes����������������......Page 349
9 Spaces with an “orthogonal” base�����������������������������������������......Page 352
9.1 Bases in locally convex spaces�����������������������������������������......Page 353
9.2 Spaces with an “orthogonal” base�������������������������������������������......Page 355
9.3 Fréchet spaces with an “orthogonal” base......Page 362
9.4 Perfect sequence spaces����������������������������������......Page 365
9.5 Köthe sequence spaces......Page 370
9.6 Barrelledness, reflexivity, Montelness and nuclearity of sequence spaces......Page 375
9.7 Spaces of analytic functions���������������������������������������......Page 378
9.8 Basic counterexamples��������������������������������......Page 381
9.9 Notes����������������......Page 384
10 Tensor products�������������������������......Page 388
10.1 The algebraic tensor product����������������������������������������......Page 389
10.2 Algebraic tensor products, where the scalar field is valued�����������������������������������������������������������������������......Page 392
10.3 Tensor products of locally convex spaces����������������������������������������������������......Page 398
10.4 Tensor products of nuclear and semi-Montel spaces�������������������������������������������������������������......Page 403
10.5 Examples of tensor products���������������������������������������......Page 411
10.6 Non-Archimedean complexifications���������������������������������������������......Page 419
10.7 Notes�����������������......Page 420
11 Inductive limits��������������������������......Page 424
11.1 Basic facts and examples������������������������������������......Page 425
11.2 Stability properties of inductive limits����������������������������������������������������......Page 432
11.3 Compactoid inductive limits���������������������������������������......Page 439
11.4 Inductive topologies on sequence spaces���������������������������������������������������......Page 443
11.5 Compactoid sets in inductive limits�����������������������������������������������......Page 450
11.6 Notes�����������������......Page 452
A.1 Sets���������������......Page 457
A.2 Real numbers�����������������������......Page 458
A.3 Groups, rings and fields�����������������������������������......Page 459
A.4 Vector spaces������������������������......Page 460
A.5 Topological spaces�����������������������������......Page 461
A.6 Metric spaces������������������������......Page 463
A.7 Topological vector spaces������������������������������������......Page 464
B.1 Spaces of continuous functions�����������������������������������������......Page 466
B.5 Sequence spaces��������������������������......Page 467
Notation���������������......Page 468
References�����������������......Page 472
Index������������......Page 483