Locally convex spaces over non-archimedean valued fields

This document was uploaded by one of our users. The uploader already confirmed that they had the permission to publish it. If you are author/publisher or own the copyright of this documents, please report to us by using this DMCA report form.

Simply click on the Download Book button.

Yes, Book downloads on Ebookily are 100% Free.

Sometimes the book is free on Amazon As well, so go ahead and hit "Search on Amazon"

Non-Archimedean functional analysis, where alternative but equally valid number systems such as p-adic numbers are fundamental, is a fast-growing discipline widely used not just within pure mathematics, but also applied in other sciences, including physics, biology and chemistry. This book is the first to provide a comprehensive treatment of non-Archimedean locally convex spaces. The authors provide a clear exposition of the basic theory, together with complete proofs and new results from the latest research. A guide to the many illustrative examples provided, end-of-chapter notes and glossary of terms all make this book easily accessible to beginners at the graduate level, as well as specialists from a variety of disciplines.

Author(s): C. Perez-Garcia, W. H. Schikhof
Series: Cambridge Studies in Advanced Mathematics 119
Edition: 1
Publisher: Cambridge University Press
Year: 2010

Language: English
Pages: 487

Cover......Page 1
About......Page 2
Cambridge Studies in Advanced Mathematics 119......Page 3
Locally Convex Spaces over Non-Archimedean Valued Fields......Page 4
0521192439......Page 5
Contents......Page 8
Preface......Page 12
1.1 Ultrametric spaces�����������������������������......Page 16
1.2 Ultrametric fields�����������������������������......Page 20
1.3 Notes����������������......Page 27
2 Normed spaces����������������������......Page 29
2.1 Basics�����������������......Page 30
2.2 Orthogonality������������������������......Page 37
2.3 Spaces of countable type�����������������������������������......Page 43
2.4 The absence of Hilbert space���������������������������������������......Page 52
2.5 Examples of Banach spaces������������������������������������......Page 56
2.6 Notes����������������......Page 93
3 Locally convex spaces������������������������������......Page 96
3.1 Seminorms and convexity����������������������������������......Page 98
3.2 Absolutely convex sets of countable type���������������������������������������������������......Page 105
3.3 Definition of a locally convex space�����������������������������������������������......Page 106
3.4 Basic facts and constructions����������������������������������������......Page 112
3.5 Metrizable and Frechet spaces......Page 123
3.6 Bounded sets�����������������������......Page 127
3.7 Examples of locally convex spaces��������������������������������������������......Page 129
3.8 Compactoids����������������������......Page 158
3.9 Compactoidity vs orthogonality�����������������������������������������......Page 173
3.10 Characterization of compactoids in normed spaces by means of t-frames���������������������������������������������������������������������������������......Page 180
3.11 Notes�����������������......Page 183
4 The Hahn-Banach Theorem......Page 185
4.1 A first Hahn-Banach Theorem: spherically complete scalar fields......Page 186
4.2 A second Hahn-Banach Theorem: spaces of countable type......Page 190
4.3 Examples of spaces (strictly) of countable type����������������������������������������������������������......Page 197
4.4 A third Hahn-Banach Theorem: polar spaces......Page 207
4.5 Notes����������������......Page 213
5.1 Weak topologies and dual-separating spaces�����������������������������������������������������......Page 225
5.2 Weakly closed convex sets������������������������������������......Page 228
5.3 Weak topologies and spaces of finite type����������������������������������������������������......Page 233
5.4 Weakly bounded sets������������������������������......Page 239
5.5 Weakly convergent sequences��������������������������������������......Page 243
5.6 Weakly (pre)compact sets and "orthogonality"......Page 247
5.7 Admissible topologies and the Mackey topology��������������������������������������������������������......Page 250
5.8 Notes����������������......Page 254
6.1 Basics�����������������......Page 259
6.2 Permanence properties��������������������������������......Page 265
6.3 Notes����������������......Page 267
7 Barrelledness and reflexivity��������������������������������������......Page 269
7.1 Polar barrelledness, hereditary properties�����������������������������������������������������......Page 270
7.2 Examples of (polarly) barrelled spaces�������������������������������������������������......Page 277
7.3 The weak star and the strong topology on the dual������������������������������������������������������������......Page 287
7.4 Reflexivity����������������������......Page 290
7.5 Examples of reflexive spaces���������������������������������������......Page 297
7.6 Metrizability considerations in duality theory���������������������������������������������������������......Page 309
7.7 Notes����������������......Page 315
8 Montel and nuclear spaces����������������������������������......Page 316
8.1 Compactoid operators�������������������������������......Page 317
8.2 Intermezzo: a curious property of l^\infty......Page 323
8.3 Compactifying operators����������������������������������......Page 324
8.4 (Semi-)Montel spaces�������������������������������......Page 326
8.5 Nuclear spaces�������������������������......Page 335
8.6 Semi-Montelness, nuclearity and metrizability��������������������������������������������������������......Page 339
8.7 Examples of (semi-)Montel and nuclear spaces�������������������������������������������������������......Page 343
8.8 Notes����������������......Page 349
9 Spaces with an “orthogonal” base�����������������������������������������......Page 352
9.1 Bases in locally convex spaces�����������������������������������������......Page 353
9.2 Spaces with an “orthogonal” base�������������������������������������������......Page 355
9.3 Fréchet spaces with an “orthogonal” base......Page 362
9.4 Perfect sequence spaces����������������������������������......Page 365
9.5 Köthe sequence spaces......Page 370
9.6 Barrelledness, reflexivity, Montelness and nuclearity of sequence spaces......Page 375
9.7 Spaces of analytic functions���������������������������������������......Page 378
9.8 Basic counterexamples��������������������������������......Page 381
9.9 Notes����������������......Page 384
10 Tensor products�������������������������......Page 388
10.1 The algebraic tensor product����������������������������������������......Page 389
10.2 Algebraic tensor products, where the scalar field is valued�����������������������������������������������������������������������......Page 392
10.3 Tensor products of locally convex spaces����������������������������������������������������......Page 398
10.4 Tensor products of nuclear and semi-Montel spaces�������������������������������������������������������������......Page 403
10.5 Examples of tensor products���������������������������������������......Page 411
10.6 Non-Archimedean complexifications���������������������������������������������......Page 419
10.7 Notes�����������������......Page 420
11 Inductive limits��������������������������......Page 424
11.1 Basic facts and examples������������������������������������......Page 425
11.2 Stability properties of inductive limits����������������������������������������������������......Page 432
11.3 Compactoid inductive limits���������������������������������������......Page 439
11.4 Inductive topologies on sequence spaces���������������������������������������������������......Page 443
11.5 Compactoid sets in inductive limits�����������������������������������������������......Page 450
11.6 Notes�����������������......Page 452
A.1 Sets���������������......Page 457
A.2 Real numbers�����������������������......Page 458
A.3 Groups, rings and fields�����������������������������������......Page 459
A.4 Vector spaces������������������������......Page 460
A.5 Topological spaces�����������������������������......Page 461
A.6 Metric spaces������������������������......Page 463
A.7 Topological vector spaces������������������������������������......Page 464
B.1 Spaces of continuous functions�����������������������������������������......Page 466
B.5 Sequence spaces��������������������������......Page 467
Notation���������������......Page 468
References�����������������......Page 472
Index������������......Page 483