Groupes de Galois arithmétiques et différentiels

Résumé : Ce volume constitue les actes du colloque sur les groupes de Galois arithmétiques et différentiels qui s'est déroulé au CIRM de Luminy (France) du 8 au 13 Mars 2004. Le but était de rendre compte du rapprochement en cours entre les deux théories, et de le développer. Le volume, à l'image du colloque, aborde des thèmes communs aux deux théories: espaces de modules (de courbes, de revêtements, de connexions), questions arithmétiques (corps de définition, théorie de la descente), groupes fondamentaux, problèmes inverses, méthodes de déformation, calculs et réalisations explicites de groupes de Galois, aspects algorithmiques. Mots clefs : Algorithmes, approximation, catégorie, catégorie des foncteurs, cohomologie parabolique, complexité algorithmique, connexions, correspondance de Riemann-Hilbert, correspondances, corps de fonctions, corps des éléments analytiques, courbes elliptiques, dessins d'enfants, diviseurs premiers de Zariski, D-modules locaux bornés, dualité de Poincaré, équations différentielles p-adiques, espaces de Hurwitz, fibré vectoriel, fonctions de Belyi, fonctions hypergéométriques, formes modulaires, Frattini, géométrie anabélienne, groupe de Galois différentiel, groupe fondamental, groupes linéaires algébriques sur les corps locaux et leurs anneaux de valuation, groupes de tresse, ID-modules (modules différentiels itératifs), inégalité de Bogomolov-Gieseker, irréductibilité, jacobienne, limite, machine de Turing, modules, monodromie, multiplicateurs de Schur, nombres p-adiques, opérateur différentiel, opérateurs de Lamé, Painlevé VI, points rationnels, preuve formelle, problème de Galois inverse, problème de Riemann-Hilbert, réduction des ID-modules, représentation de monodromie, représentation modulaire, représentations, revêtement des courbes, revêtement universel, solutions algébriques, stabilité, système différentiel fuchsien, temps polynomial déterministe, théorie de décomposition de Hilbert, théorie de Galois, théorie de Galois différentielle, théorie de Galois inverse, théorie de Galois pro-$\ell $, tours modulaires, uniformisation, variété algébrique, Abstract: Arithmetic and differential Galois groups On March 8-13, 2004, a meeting was organized at the Luminy CIRM (France) on arithmetic and differential Galois groups, reflecting the growing interactions between the two theories. The present volume collects the proceedings of this conference. It covers the following themes: moduli spaces (of curves, of coverings, of connexions), including the recent developments on modular towers; the arithmetic of coverings and of differential equations (fields of definition, descent theory); fundamental groups; the inverse problems and methods of deformation; and the algorithmic aspects of the theories, with explicit computations or realizations of Galois groups. Key words: Algebraic solutions, algebraic variety, algorithmic complexity, algorithms, anabelian geometry, Belyi functions, Bogomolov-Gieseker inequality, braid groups, braid group and Hurwitz monodromy group, category, complex approximation, connections, correspondences, covers of curves, dessins d'enfants, deterministic polynomial time, differential Galois group, differential Galois theory, differential operator, elliptic curves, fields of analytic elements, formalized proof, Frattini, Frattini and Spin covers, function fields, functor category, fundamental group, Fuchsian differential systems Galois theory, Hilbert decomposition theory, Hurwitz spaces, hypergeometric functions ID-modules (iterative differential modules), inverse problem of Galois theory, irreducibility, jacobian variety, j-line covers, Lamé differential operators, limit, linear algebraic groups over local fields and their integers, locally bounded D-modules, modular forms, modular representation, modular towers, moduli, moduli spaces of covers, monodromy, monodromy representation, p-adic differential equations, p-adic numbers, Painlevé VI, parabolic cohomology, pro-$\ell $ Galois theory, Poincaré duality, rational points, reduction of ID-modules, representations, Riemann-Hilbertcorrespondence, Riemann-Hilbert problem, Serre's lifting invariant, Schur multiplier, stability, Turing machine, uniformization, universal cover, valuations, vector bundles, Zariski prime divisors, Class. math. : 03B35, 11F11, 11F25, 11F30, 11F32, 11Gxx, 11G18, 11R58, 11Y16, 11Y35, 12E, 12E30, 12F, 12F10, 12F12, 12G, 12G99, 12H05, 12H25, 12J, 13N, 13N05, 13N10, 14-04, 14D, 14Dxx, 14D22, 14F05, 14G05, 14G32, 14G35, 14H05, 14H10, 14H30, 18A25, 20B05, 20C05, 20C20, 20C25, 20D25, 20E18, 20E22, 20F34, 20F69, 20G, 20G25, 20J05, 20J06, 32J25, 32S40, 33C05, 34xx, 34A20, 34M55, 35C10, 35C20, 53G, 65E05, 65Y20, 68Q15 Table of Contents * M. Berkenbosch -- Algorithms and moduli spaces for differential equations * M. Berkenbosch and M. van der Put -- Families of linear differential equations on the projective line * P. Boalch -- Brief introduction to Painlevé VI * A. Buium -- Correspondences, Fermat quotients, and uniformization * J.-M. Couveignes -- Jacobiens, jacobiennes et stabilité numérique * P. Débes -- An introduction to the modular tower program * M. Dettweiler and S. Wewers -- Variation of parabolic cohomology and Poincaré duality * M. D. Fried -- The main conjecture of modular towers and its higher rank generalization * R. Liţcanu and L. Zapponi -- Properties of Lamé operators with finite monodromy * S. Malek -- On the Riemann-Hilbert problem and stable vector bundles on the Riemann sphere * B. H. Matzat -- Integral p-adic differential modules * F. Pop -- Galois theory of Zariski prime divisors * M. Romagny and S. Wewers -- Hurwitz spaces * D. Semmen -- The group theory behind modular towers * C. Simpson -- Formalized proof, computation, and the construction problem in algebraic geometry * Annexe. Liste des participants