Group theory : birdtracks, Lie's, and exceptional groups

Acknowledgments......Page 11
Basic concepts......Page 19
First example: SU(n)......Page 23
Second example: E6 family......Page 26
Preliminaries......Page 28
Defining space, tensors, reps......Page 32
Invariants......Page 33
Invariance groups......Page 36
Projection operators......Page 38
Spectral decomposition......Page 39
Birdtracks......Page 41
Clebsch-Gordan coefficients......Page 43
Infinitesimal transformations......Page 46
Lie algebra......Page 50
Classification of Lie algebras by their primitive invariants......Page 52
Irrelevancy of clebsches......Page 53
A brief history of birdtracks......Page 54
Couplings and recouplings......Page 57
Wigner 3n-j coefficients......Page 60
Wigner-Eckart theorem......Page 61
Symmetrization......Page 64
Antisymmetrization......Page 66
Levi-Civita tensor......Page 68
Determinants......Page 70
Fully (anti)symmetric tensors......Page 72
Identically vanishing tensors......Page 73
Casimirs and Lie algebra......Page 76
Independent casimirs......Page 77
Adjoint rep casimirs......Page 79
Casimir operators......Page 80
Dynkin indices......Page 81
Quadratic, cubic casimirs......Page 84
Quartic casimirs......Page 85
Sundry relations between quartic casimirs......Page 87
Dynkin labels......Page 90
Group integrals for arbitrary reps......Page 93
Characters......Page 95
Examples of group integrals......Page 96
Two-index tensors......Page 98
Three-index tensors......Page 99
Young tableaux......Page 100
Young projection operators......Page 106
Reduction of tensor products......Page 110
U(n) recoupling relations......Page 114
U(n) 3n-j symbols......Page 115
SU(n) and the adjoint rep......Page 119
An application of the negative dimensionality theorem......Page 121
SU(n) mixed two-index tensors......Page 122
SU(n) mixed defining adjoint tensors......Page 123
SU(n) two-index adjoint tensors......Page 126
Casimirs for the fully symmetric reps of SU(n)......Page 131
SU(n), U(n) equivalence in adjoint rep......Page 132
Sources......Page 133
Two-index tensors......Page 136
Mixed adjoint defining rep tensors......Page 137
Two-index adjoint tensors......Page 138
Three-index tensors......Page 142
Gravity tensors......Page 144
SO(n) Dynkin labels......Page 147
Spinography......Page 150
Fierzing around......Page 153
Fierz coefficients......Page 157
6-j coefficients......Page 158
Exemplary evaluations, continued......Page 160
Invariance of -matrices......Page 161
Handedness......Page 162
Kahane algorithm......Page 163
Two-index tensors......Page 167
SU(n) = SU(-n)......Page 170
SO(n) = Sp(-n)......Page 172
Spinsters......Page 174
Racah coefficients......Page 179
Heisenberg algebras......Page 180
Reps of SU(2)......Page 182
SU(3) as invariance group of a cubic invariant......Page 184
Levi-Civita tensors and SU(n)......Page 187
SU(4)--SO(6) isomorphism......Page 188
Alternativity and reduction of f-contractions......Page 192
Primitivity implies alternativity......Page 195
Casimirs for G2......Page 197
Hurwitz's theorem......Page 198
Two-index tensors......Page 201
Decomposition of Sym3 A......Page 204
Diophantine conditions......Page 206
Dynkin labels and Young tableaux for E8......Page 207
Reduction of two-index tensors......Page 210
Mixed two-index tensors......Page 212
Diophantine conditions and the E6 family......Page 213
Three-index tensors......Page 214
Defining adjoint tensors......Page 216
Two-index adjoint tensors......Page 219
Dynkin labels and Young tableaux for E6......Page 223
Casimirs for E6......Page 224
Springer relation......Page 227
Springer's construction of E6......Page 228
Two-index tensors......Page 230
Defining adjoint tensors......Page 233
Jordan algebra and F4(26)......Page 236
Dynkin labels and Young tableaux for F4......Page 237
SO(4) family......Page 239
Defining adjoint tensors......Page 241
Lie algebra identification......Page 242
E7 family......Page 244
Dynkin labels and Young tableaux for E7......Page 247
Magic Triangle......Page 249
A brief history of exceptional magic......Page 252
Extended supergravities and the Magic Triangle......Page 255
Epilogue......Page 256
Uniqueness of Young projection operators......Page 259
Normalization and completeness......Page 260
Dimension formula......Page 261
Index......Page 263