Учебное пособие. − Мн.: БГУИР, 2005. -88 с.
ISBN 985-444-789-8.Учебное пособие является первым в Республике Беларусь изданием по алгебраическим основам теории и практики помехоустойчивого кодирования, формирования и обработки дискретных сигналов, защиты информации от несанкционированного доступа. Изложены основы теории чисел, теории групп, теории колец и полей. Структура и подача материала подчинены главной цели – полному, строгому и по возможности краткому изложению теории полей Галуа – одного из основных инструментов построения и обработки кодов и сигналов, многих современных криптосистем.
Для студентов специальностей «Системы, сети и устройства телекоммуникаций» и «Информатика» всех форм обучения.Содержание.
Введение.
Основы теории чисел.
Алгебраические операции на множестве целых чисел.
Наибольший общий делитель целых чисел. Алгоритм Евклида.
Простые числа.
Критерий взаимной простоты целых чисел.
Основная теорема арифметики.
Сравнения.
Кольцо классов вычетов.
Малая теорема Ферма.
Функция Эйлера и теорема Эйлера.
Элементы теории групп.
Понятие алгебраической системы.
Группы, их основные свойства и типы.
Подгруппы.
Циклические подгруппы.
Смежные классы по подгруппе.
Теорема Лагранжа.
Нормальные подгруппы.
Симметрическая группа.
Знакопеременная группа.
Нормальные подгруппы и фактор-группы.
Гомоморфизмы групп.
Автоморфизмы групп.
КриптосистемаRSA.
Кольца, многочлены и поля.
Основные понятия о кольцах.
Мультипликативная группа кольца.
Делители нуля в кольцах.
Идеалы колец.
Арифметические свойства полиномов.
Многочлены и их корни.
Характерные свойства кольца полиномов.
Фактор-кольца.
Гомоморфизмы колец и полей.
Теория полей и конечных полей.
Характеристика поля.
Подполя и минимальные подполя.
Векторные пространства и расширения полей.
Алгебраические элементы и алгебраические расширения полей.
Свойства конечных полей: существование и единственность.
Свойства конечных полей: цикличность мультипликативной группы.
Свойства примитивных элементов конечных полей.
Формирование конечных полей.
Автоморфизмы полей. Группа Галуа конечного поля.
Норма и след в конечном поле.
Квадратные уравнения в полях Галуа.
Литература.
