从大学数学走向现代数学

目录......Page 6
第一章代数
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第三章 从函数到算子
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边界条件的周期性关系
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基本概念
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不动点定理
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算子连续就是每个点连续就可以了
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全体有界线性算子和算子范数的整体组成的赋范线性空间 成为对偶空间
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狄克磊核的关键性
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小波分析
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广义函数
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钟形函数
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经典函数和广义函数的等价关系
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第四章 数列实属空间序列度量空间网拓扑空间......Page 105
序列加上度量就是收敛
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度量空间的序列的收敛问题
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直观的开集和闭集的图形
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度量诱导的拓扑
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度量空间的等价条件
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拓扑空间的性质
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网的定义
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网的本质就是定向集而不是自然数集合了
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第五章 从导数到广义导数
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不连续但是可积分
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基本函数空间
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狄拉克函数
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代数重数和几何重数
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N维向量空间可分解为N个两辆正交的一维不变子空间的直和
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刘维尔定理
语言的翻译......Page 222
对称算子谱
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可数无穷个特征值，无穷维
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自伴算子的谱分析
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代数运算的不同的定义
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环只是涉及一个集合 二线性空间涉及两个
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域 都包换最小的域 利用扩张来研究，而环 群都是通过子群研究
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对称和群
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抽象与直观
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对称的集合语言 子集的语言
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对称既是群
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半群
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左陪集和商群的关系定义
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运算表
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运算律的作用
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线性空间的定义
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同一个数域的不同线性空间的同构的充分必要条件就是维数
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实数系的相等的关系推广集合中的等价关系
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素域的同构两类一个是有理数域，一个是素数的剩余
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同构就是运算而不是元素
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模是线性空间的推广 是有可交换的群和幺环结合的
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左模右模
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代数结构的区别在于元素的差异还是在于运算的差异
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第二章从有限维到无限维
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n维向量空间无大小但是有距离，则可以将邻域的性质推广
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实数完备性等价定理
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算子的思想
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函数看做空间元素的点，算子看做是一种映射
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数学的四种结构 序结构 测度结构 拓扑结构
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距离公理
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离散的度量空间
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收敛性加上拓扑性质就可以推广到度量空间
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勒贝格积分的 本质就是积分的完备化
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列紧集抛弃了对于集合的有界性的要求，只是集中在收敛子列上
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线性结构加上拓扑性质
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无穷维与有限维的区别性
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算子范数就是伸缩率
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对偶空间
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强弱收敛的本质区别就是一个本空间，一个是对偶空间
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平行四边形的本质
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希尔伯特正交投影就是函数的最优逼近
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欧股定理在希尔伯特空间的应用
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内积空间的标准正交基
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完备性保证收敛性
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可分希尔伯特空间同构性和自共轭性
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