Краткий курс математического анализа. Учебник для механико-математических и физико-математических факультетов государственных университетов и педагогических институтов

ОГЛАВЛЕНИЕ: Предисловие (7). РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ Глава 1. Функции (11). § 1. Переменные величины (11)0. § 2. Функции (13). § 3. Область определения функции (16). § 4. Функция и формула (17). § 5. Геометрическое изображение функций (21). § б. Элементарные функции (23). Глава 2. Элементарная теория пределов (28). § 7. Бесконечно малые величины (28). § 8. Операции над бесконечно малыми величинами (32). § 9. Бесконечно большие величины (36). § 10. Величины, стремящиеся к пределам (38). §11. Операции над величинами, стремящимися к пределам (42). § 12. Бесконечно малые и бесконечно большие различных порядков (47). Глава 3. Уточнение и расширение идеи предельного перехода (53). § 13. Математическое описание процесса (53). § 14. Уточнение понятия предела (55). § 15. Расширение идеи предельного перехода (60). Глава 4. Вещественные числа (64). § 16. Необходимость создания общей теории вещественных чисел (64). § 17. Построение континуума (67). § 18. Основные леммы (76). § 19. Завершение теории пределов (80). Глава 5. Непрерывность функций (85). § 20. Определение непрерывности (85). § 21. Операции над непрерывными функциями (89). § 22. Непрерывность сложной функции (90). § 23. Важнейшие свойства непрерывных функций (93). § 24. Непрерывность элементарных функций (99). РАЗДЕЛ ВТОРОЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Глава 6. Производная (103). § 25. Равномерное и неравномерное изменение функций (103). § 26. Мгновенная скорость неравномерного движения (106). § 27. Локальная плотность неоднородного стержня (110). § 28. Определение производной (112). § 29. Правила дифференцирования (114). § 30. Вопросы существования и геометрическая иллюстрация (126). Глава 7. Дифференциал (131). § 31. Определение и связь с производной (131). § 32. Геометрическая иллюстрация и правила вычисления (135). § 33. Инвариантный характер связи производной с дифферениалами (137). Глава 8. Производные и дифференциалы высших порядков (139). § 34. Производные высших порядков (139). § 35. Дифференциалы высших порядков и их связь с производными (142). Глава 9. Теоремы о средних значениях (144). § 36. Теорема о конечном приращении (144). § 37. Вычисление пределов отношений бесконечно малых и бесконечно больших (149). § 38. Формула Тэйлора (154). § 39. Остаточный член формулы Тэйлора (158). Глава 10. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций (164). § 40. Возрастание и убывание функций (164). § 41. Экстремальные значения (167). РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Глава 11. Обращение операции дифференцирования (174). § 42. Понятие примитивной функции (174). § 43. Простейшие общие приемы интегрирования (181). Глава 12. Интеграл (191). § 44. Площадь криволинейной трапеции (191). § 45. Работа переменной силы (196). § 46. Общее понятие интеграла (199). § 47. Верхние и нижние суммы (201). § 48. Интегрируемость функций (203). Глава 13. Связь интеграла с примитивной функцией (209). § 49. Простейшие свойства интеграла (209). § 50. Связь интеграла с примитивной функцией (213). § 51. Дальнейшие свойства интегралов (218). Глава 14. Геометрические и механические приложения интеграла (224). § 52. Длина дуги плоской кривой (224). § 53. Длина дуги пространственной кривой (233). § 54. Масса, центр тяжести и моменты инерции материализованной плоской кривой (235). § 55. Объемы геометрических тел (239). Глава 15. Приближенное вычисление интегралов (246). § 56. Постановка задачи (246). § 57. Способ трапеций (249). § 58. Способ парабол (253). Глава 16. Интегрирование рациональных функций (256). § 59. Алгебраическое введение (256). § 60. Интегрирование простых дробей (264). § 61. Прием Остроградского (267). Глава 17. Интегрирование простейших иррациональных и трансцендентных функций (271). § 62. Интеграция функций вида R(x, ⁿ√ax+b/cx+d) (271). § 63. Интеграция функций вида R(x, √ax²+bx+c) (273). § 64. Примитивные биномиальных дифференциалов (276). § 65. Интегрирование тригонометрических дифференциалов (278). § 66. Интегрирование дифференциалов, содержащих показательные функции (282). РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ Глава 18. Бесконечные ряды чисел (285). § 67. Основные понятия (285). § 68. Знакопостоянные ряды (293). § 69. Знакопеременные ряды (302). § 70. Операции над рядами (306). § 71. Бесконечные произведения (311). Глава 19. Бесконечные ряды функций (317). § 72. Область сходимости функционального ряда (317). § 73. Равномерная сходимость (319). § 74. Непрерывность суммы функционального ряда (323). § 75. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов (327). Глава 20. Степенные ряды и ряды многочленов (333). § 76. Область сходимости степенного ряда (333). § 77. Равномерная сходимость и ее следствия (338.) § 78. Разложение функций в степенные ряды (342). § 79. Ряды многочленов (349). § 80. Теорема Вейерштрасса (352). Глава 21. Тригонометрические ряды (357). § 81. Коэффициенты Фурье (357). § 82. Приближение в среднем (363). § 83. Теорема Дирихле - Ляпунова о замкнутости тригонометрической системы (367). § 84. Сходимость рядов Фурье (373). § 85. Обобщенные тригонометрические ряды (374). РАЗДЕЛ ПЯТЫЙ. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Глава 22. Дифференцирование функций нескольких переменных (377). § 86. Непрерывность функции нескольких независимых переменных (377). § 87. Двумерный континуум (380). § 88. Свойства непрерывных функций (384). § 89. Частные производные (387). § 90. Дифференциал (390). § 91. Производная по любому направлению (395). § 92. Дифференцирование сложных и неявных функций (398). § 93. Однородные функции и теорема Эйлера (402). § 94. Частные производные высших порядков (404). § 95. Формула Тэйлора для функций двух переменных (407). § 96. Экстремальные значения (412). Глава 23. Простейшие геометрические приложения дифференциального исчисления (417). § 97. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой (417). § 98. Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой (419). § 99. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (421). § 100. Направление выпуклости и вогнутости кривой (425). § 101. Кривизна плоской кривой (426). § 102. Соприкасающийся круг (430). Глава 24. Неявные функции (434). § 103. Простейшая задача (434). § 104. Общая задача (440). § 105. Определители Остроградского (446). § 106. Условный экстремум (453). РАЗДЕЛ ШЕСТОЙ. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Глава 25. Обобщенные интегралы (460). § 107. Интегралы с бесконечными пределами (460). § 108. Интегралы неограниченных функций (472). Глава 26. Интегралы как функции параметров (480). § 109. Интегралы с конечными пределами (480). § 110. Интегралы с бесконечными пределами (490). § 111. Примеры (499). § 112. Интегралы Эйлера (505). § 113. Формула Стирлинга (511). Глава 27. Двойные и тройные интегралы (518). § 114. Измеримые плоские фигуры (518). § 115. Объемы цилиндрических тел (527). § 116. Двойной интеграл (531). § 117. Вычисление двойных интегралов с помощью двукратного простого интегрирования (536). § 118. Замена переменных в двойном интеграле (543). § 119. Тройные интегралы (548). § 120. Приложения (551). Глава 28. Криволинейные интегралы (560). § 121. Определение плоского криволинейного интеграла (560). § 122. Работа плоского силового поля (567). § 123. Формула Грина (569). § 124. Применение к дифференциалам функций двух переменных (574). § 125. Пространственные криволинейные интегралы (578). Глава 29. Поверхностные интегралы (582). § 126. Простейший случай (582). § 127. Общее определение поверхностного интеграла (586). § 128. Формула Остроградского (593). § 129. Формула Стокса (598). § 130. Элементы теории поля (602). Заключение. Краткий исторический очерк (610). Предметный указатель (622). Из предисловия: «Краткий курс математического анализа» должен, по замыслу автора, служить студентам механико-математических и физико-математических факультетов наших университетов (а в известной мере и пединститутов) основным руководством при изучении той научной дисциплины, которая в учебных планах именуется «математическим анализом» и содержит в себе теорию пределов и бесконечных рядов, элементы дифференциального и интегрального исчислений и простейшие приложения этих учений...