Analyse fondamentale : espaces métriques, topologiques et normés

Title ......Page 5
Introduction ......Page 7
Table des matières ......Page 11
1. Motivation ......Page 15
2. Fondements ......Page 16
3. Relations, applications ......Page 19
4. Suites ......Page 22
5. Cardinalité ......Page 25
6. Le continu ......Page 29
Exercices ......Page 31
1. Métriques, boules, voisinages ......Page 37
2. Convergence des suites ......Page 41
3. Continuité métrique ......Page 44
4. Produits dénombrables des espaces métriques ......Page 47
5. Intérieur, fermeture, ouverts et fermés ......Page 49
6. Adhérence de suite ......Page 52
Exercices ......Page 53
Chapitre III. Espaces topologiques ......Page 57
1. Topologies ......Page 58
2. Séparation, régularité, normalité ......Page 61
3. Convergence des suites ......Page 63
4. Continuité topologique ......Page 66
5. Treillis des topologies ......Page 67
6. Séparation fonctionnelle ......Page 69
7. Topologies métrisables ......Page 72
8. Sous-espaces ......Page 75
9. Produits ......Page 76
10. Plongements ......Page 79
11. Quotients ......Page 81
12. Éventail séquentiel ......Page 83
Exercices ......Page 84
1. Espaces métriques séparables ......Page 91
Exercices ......Page 94
1. Compacité en termes des suites ......Page 95
2. Compacité en termes des recouvrements ......Page 100
3. Prolongements des applications continues ......Page 101
4. Compacité dans des espaces fonctionnels ......Page 102
5. Théorème de Stone-Weierstrafi ......Page 105
Exercices ......Page 107
1. Espaces métriques complets ......Page 111
2. Complétude des espaces fonctionnels ......Page 114
3. Complétion ......Page 116
4. Espaces complètement métrisables ......Page 117
5. Espaces métriques localement compacts ......Page 118
6. Points fixes ......Page 120
Exercices ......Page 121
Chapitre VIL Espaces métriques connexes et disconnexes ......Page 125
1. Espaces métriques connexes ......Page 126
2. Composantes et quasi-composantes ......Page 130
3. Espaces métriques zéro-dimensionnels ......Page 133
4. Espaces ultramétriques ......Page 135
5. Espace de Baire ......Page 138
Exercices ......Page 141
Chapitre VIII. Espaces vectoriels ......Page 147
1. Bases, dimension ......Page 148
2. Applications et formes linéaires ......Page 151
3. Prolongement des formes linéaires ......Page 154
4. Intérieur et fermeture algébriques ......Page 156
5. Séparation des convexes ......Page 159
Exercices ......Page 161
Chapitre IX. Espaces vectoriels normés ......Page 165
1. Espaces normés ......Page 166
2. Applications et formes linéaires continues ......Page 169
3. Conséquences du théorème de Hahn-Banach ......Page 171
4. Espaces normés de dimension finie ......Page 172
5. Duaux des espaces des suites ......Page 174
6. Espaces de Banach ......Page 176
7. Applications ouvertes et du graphe fermé ......Page 177
8. Familles uniformément bornées ......Page 180
9. Projections et quotients ......Page 181
10. Espaces des fonctions continues ......Page 182
11. Opérateurs adjoints ......Page 184
12. Topologies faibles ......Page 185
Exercices ......Page 186
2. Propriétés fondamentales ......Page 189
3. Projections orthogonales ......Page 190
4. Bases de Hilbert ......Page 193
5. Représentation des formes linéaires continues ......Page 194
Exercices ......Page 198
1. Inégalité variationnelle ......Page 199
2. Opérateurs compacts ......Page 201
3. Opérateurs de Hilbert-Schmidt ......Page 204
4. Résolvante, spectre, valeurs propres ......Page 206
5. Décomposition spectrale ......Page 207
6. Théorie de Sturm-Liouville ......Page 209
Exercices ......Page 215
1. Ordre ......Page 217
2. Bon ordre ......Page 218
3. Nombres ordinaux ......Page 220
4. Arithmétique des ordinaux ......Page 223
5. Nombres ordinaux-cardinaux ......Page 225
Exercices ......Page 227
1. Grilles ......Page 229
2. Filtres ......Page 230
3. Convergence des filtres ......Page 232
4. Compacité ......Page 233
5. Compacité versus compacité séquentielle ......Page 235
6. Topologie de Stone ......Page 236
7. Filtres de parties fonctionnellement fermées ......Page 239
8. Compactification de Cech-Stone ......Page 242
Exercices ......Page 248
1. Partitions ......Page 253
2. Topologies paracompactes ......Page 258
3. Fragmentations des partitions de l’unité ......Page 261
4. Théorèmes de métrisation ......Page 265
Exercices ......Page 267
1. Mesure et intégrale ......Page 269
2. Espaces normés des fonctions mesurables ......Page 272
3. Décomposition de Lebesgue et le théorème de Radon-Nikodym ......Page 274
4. Structure du dual de Lp ......Page 276
5. Structure des duaux de Lqo et de C(K ......Page 278
Exercices ......Page 281
I. Théorie des ensembles ......Page 283
IL Espaces métriques ......Page 291
III. Espaces topologiques ......Page 300
IV. Espaces métriques séparables ......Page 314
V. Espaces métriques compacts ......Page 315
VI. Espaces métriques complets ......Page 321
VII. Espaces métriques connexes et disconnexes ......Page 328
VIII. Espaces vectoriels ......Page 338
IX. Espaces vectoriels normés ......Page 343
X. Espaces de Hilbert ......Page 352
XI. Théorie spectrale ......Page 354
A. Nombres ordinaux ......Page 357
B. Espaces topologiques compacts ......Page 360
C. Métrisation ......Page 368
D. Espaces normés fonctionnels ......Page 371
Index ......Page 375
Bibliographie ......Page 381