Львів: ЛНУ ім.Івана Франка, 2009. — 264 с.
Об’єкт дослідження є прямі та обернені еволюційні задачі, крайові, початково-крайові і варіаційні задачі фізики та механіки, граничні задачі теорії потенціалу, інтегральні рівняння Фредгольма першого роду зі слабкою особливістю в ядрі. Предметом є математичні моделі відповідних фізичних явищ.
Мета роботи – створення, дослідження та апробування чисельних методів для розв’язування прямих і обернених еволюційних задач механіки та фізики на основі варіаційних рівнянь, граничних інтегральних рівнянь і нелінійних функціональних рівнянь.
Методи дослідження – метод Петрова-Гальоркіна, метод скінченних елементів (МСЕ), граничні інтегральні рівняння різних типів та розмірностей, перетворення Лагерра, функція Гріна.
Запропоновано стабілізовані та h-адаптивні високоточні схеми методу скінченних елементів для сингулярно збурених початкових та крайових задач з використанням дискретизації Гальоркіна та Петрова-Гальоркіна. Стабілізовані схеми МСЕ побудовано застосуванням як експоненціальних базисних функцій простору апроксимацій, так і простору тестових функцій. Встановлено безумовну стійкість таких схем та порядки їх збіжності для частинами визначених поліноміальних апроксимацій різних порядків, проаналізовано результати числових експериментів.
Адаптивні схеми МСЕ побудовано з використанням оригінальних апостеріорних оцінювачів похибок, які засновані на властивостях лишків варіаційних рівнянь обчислених із апроксимацій МСЕ. Обчислювані розподіли норм похибок на кожному скінченному елементі покладено в основу гнучкої системи керування структурою та густотою елементів озрахункових тріангуляцій, здатних забезпечити відшукання апроксимацій МСЕ з наперед гарантованою точністю. Надійність та ефективність запропонованих стабілізованих та h-адаптивних схем демонструється результатами розв’язування модельних та прикладних задач, зокрема, п’єзоелектричних актуаторів і сенсорів та біомеханічних систем у стоматології.
Розроблено наближені схеми розв’язування обернених задач реконструкції тріщин, включень та граничних значень у частково-необмежених областях для випадків рівнянь Лапласа, теплопровідності та системи Нав’є. Доведено збіжність ітераційного процесу з адквадратичною збіжністю для розв’язування одного класу нелінійних рівнянь.
