Излагаются основные принципы построения и исследования численных методов решения на ЭВМ различных классов математических задач. Наряду с традиционными разделами, такими как интерполирование, численное интегрирование, методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, большое место в книге занимают разностные методы для уравнений в частных производных и итерационные методы решения сеточных уравнений.
Для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика» и «Физика», а также для широкого круга специалистов, применяющих ЭВМ для научных расчетов.
Author(s): Самарский А.А., Гулин А.В.
Publisher: Наука
Year: 1989
Language: Russian
Pages: 432
City: Москва
ОГЛАВЛЕНИЕ......Page 3
Предисловие......Page 8
1. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент......Page 11
2. Погрешности округления......Page 16
3. Разностные уравнения второго порядка......Page 25
4. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений......Page 34
Глава 1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений......Page 48
1. Метод Гаусса численного решения систем линейных алгебраических уравнений......Page 49
2. Условия применимости метода Гаусса.......Page 54
3. Метод Гаусса с выбором главного элемента......Page 60
4. Обращение матрицы......Page 68
5. Метод квадратного корня......Page 69
6. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений......Page 74
1. Примеры и канонический вид итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений......Page 82
2. Исследование сходимости итерационных методов.......Page 86
3. Необходимое и достаточное условие сходимости стационарных итерационных методов......Page 90
4. Оценки скорости сходимости стационарных итерационных методов......Page 95
5. Многочлены Чебышева......Page 103
6. Итерационные методы с чебышевским набором параметров......Page 109
7. Итерационные методы вариационного типа......Page 115
1. Интерполирование алгебраическими многочленами......Page 127
2. Погрешность интерполирования......Page 132
3. Интерполирование с кратными узлами......Page 136
4. Интерполирование сплайнами......Page 140
5. Другие постановки задач интерполирования и приближения функций......Page 148
6. Наилучшие приближения в гильбертовом пространстве......Page 156
1. Примеры формул численного интегрирования......Page 161
2. Квадратурные формулы интерполяционного типа......Page 172
3. Метод Гаусса вычисления определенных интегралов......Page 180
4. Численное дифференцирование......Page 186
1. Примеры итерационных методов решения нелинейных уравнений......Page 190
2. Сходимость метода простой итерации......Page 195
3. Сходимость метода Ньютона......Page 199
4. Итерационные методы для систем нелинейных уравнений......Page 207
1. Исходная задача и примеры численных методов ее решения......Page 214
2. Методы Рунге — Кутта......Page 218
3. Многошаговые разностные методы......Page 230
4. Сходимость и оценка погрешности многошагового разностного метода......Page 236
5. Численное интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений......Page 247
1. Примеры разностных аппроксимаций......Page 259
2. Построение разностных схем интегро-интерполяционным методом......Page 262
3. Исследование аппроксимации и сходимости......Page 265
4. Разностные схемы для уравнения теплопроводности......Page 272
5. Трехслойные разностные схемы......Page 283
6. Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, сходимость, устойчивость......Page 286
1. Разностная аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона......Page 291
2. Принцип максимума для разностных схем. Основные теоремы......Page 294
3. Доказательство устойчивости и сходимости разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона......Page 300
4. Примеры применения принципа максимума......Page 304
5. Монотонные разностные схемы для уравнений второго порядка, содержащих первые производные......Page 308
Глава 3. Метод разделения переменных......Page 310
1. Разностная задача на собственные значения......Page 311
2. Задача на собственные значения для пятиточечного разностного оператора Лапласа......Page 317
3. Исследование устойчивости и сходимости схемы с весами для уравнения теплопроводности......Page 320
4. Решение разностного уравнения второго порядка методом Фурье......Page 332
5. Быстрое дискретное преобразование Фурье......Page 334
6. Решение разностного уравнения Пуассона с использованием быстрого преобразования Фурье......Page 337
1. Разностные схемы как операторные уравнения......Page 339
2. Канонический вид и условия устойчивости двуслойных разностных схем......Page 349
3. Канонический вид и условия устойчивости трехслойных разностных схем......Page 362
4. Об экономичных методах решения многомерных нестационарных задач математической физики......Page 369
1. Модельная задача......Page 378
2. Применение явного итерационного метода с оптимальным набором параметров......Page 389
3. Попеременно-треугольный итерационный метод......Page 394
4. Итерационный метод переменных направлений......Page 404
5. Метод матричной прогонки......Page 411
6. Метод редукции......Page 418
Список литературы......Page 426
Предметный указатель......Page 428
