Cours de géométrie descriptive

Page de titre......Page 1
Objet de la géométrie descriptive ; perspective d'un point ; perspective d'une figure......Page 3
Projection d'une droite......Page 4
Condition de parallélisme de deux droites......Page 5
Droite de l'infini dans un plan......Page 6
Lignes planes et lignes gauches ; ordre d'une courbe......Page 7
Projection d'une ligne plane d'ordre m......Page 8
La tangente en un point de la projection d'une ligne est la projection de la tangente au point correspondant de la ligne......Page 9
Cas où la tangente à la ligne passe par le centre de projection......Page 10
Caractères d'une propriété projective......Page 12
Reconnaître si une propriété est projective......Page 13
Projection d'un quadrilatère suivant un parallélogramme......Page 14
Projection d'une conique......Page 15
Exercices sur la méthode des projections......Page 16
Insuffisance du dessin ordinaire......Page 17
Représentation des corps par la méthode des projections orthogonales......Page 18
Ligne de terre et régions......Page 20
Cote et éloignement ; plans bissecteurs......Page 21
Épures d'un point et d'un corps......Page 22
Positions relalives des projections d'un point dans une épure......Page 23
Étude de l'épure d'un point......Page 24
Distinction des parties vues et des parties cachées......Page 25
Ponctuation......Page 26
Un exemple de ponctuation......Page 27
Définition et tracé des ombres......Page 28
Exercices sur le Chapitre I......Page 30
Représentation d'une droite......Page 31
Droites horizontales, de front, etc......Page 32
Projections d'un point situé sur une droite......Page 34
Traces d'une droite dont on connaît les projections et ponctuation......Page 36
Ombres portées par une droite sur les plans de projection......Page 37
Points de rencontre d'une droite avec les plans bissecteurs......Page 38
Conditions de parallélisme de deux droites......Page 39
Droite menée par un point parallèlement à une droite donnée......Page 40
Reprêsentation d'une droite parallèle ou perpendiculaire à un plan bissecteur......Page 41
Construction d'un point d'une droite située dans un plan de profil......Page 42
Ombres d'une droite......Page 43
Reconnaître si deux droites sont concourantes......Page 44
Droites s'appuyant sur une droite donnée......Page 45
Exercices sur le Chapitre II......Page 46
Ce qu'on entend par faire passer un plan par deux droites qui se coupent, par une droite et un point, etc......Page 48
Projections d'un point d'un plan......Page 49
Frontales et trace verticale......Page 50
Détermination d'un plan par ses traces......Page 51
Se donner une horizontale ou une frontale d'un plan défini par ses traces......Page 52
Plans verticaux, de bout, de front, etc......Page 53
Plans perpendiculaires aux plans bissecteurs......Page 55
Plan mené par un point parallèlement à un point donné......Page 56
L'un des plans est vertical ou de bout......Page 57
Les deux plans sont quelconques......Page 58
Suppression de la ligne de terre dans les épures......Page 59
Cas où les deux plans sont déterminés par leurs traces (3e, 4e, 5e, 6e et 7e cas)......Page 60
Points communs à trois plans......Page 61
Conditions pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan......Page 62
Cas particulier où le plan est vertical ou de bout......Page 64
Ponctuation du système formé par une droite et par un plan......Page 65
Ponctuation du système formé par les faces d'un angle dièdre......Page 66
Droite menée par un point parallèlement à un plan donné et s'appuyant sur une droite donnée......Page 68
Droite de direction donnée s'appuyant sur deux droites données......Page 69
Réciproques......Page 70
Plan perpendiculaire à une droite mené par un point......Page 72
Exercices sur le Chapitre IV......Page 73
Objet de la méthode......Page 76
Changement de plans pour un point, pour une droite ou pour un plan......Page 77
Problèmes analogues pour le plan......Page 79
Application des changements de plan à la détermination d'une figure située dans un plan de profil......Page 80
Objet de la méthode......Page 81
Faire tourner un point, une droite ou un plan autour d'un axe vertical ou de bout......Page 82
Faire tourner une figure autour d'un axe horizontal......Page 86
Même problème quand l'axe est de front......Page 88
Projection d'un cube dont une diagonale est verticale......Page 89
Énoncé du problème des rabattements......Page 90
Rabattement sur un plan horizontal ou sur un plan de front......Page 91
Règle du triangle rectangle......Page 92
Rabattement d'un plan vertical ou de bout......Page 93
Rabattement d'un plan autour d'une trace de ce plan......Page 94
Problème inverse des rabattements......Page 95
Usages des rabattements......Page 96
Projections d'un cercle......Page 97
Sphère circonscrite à un tétraèdre......Page 98
Ezercices sur le Chapitre V......Page 100
Distance de deux points et problème inverse......Page 103
Distance d'un point à un plan et problème inverse......Page 104
Distance d'un point à une droite......Page 105
Méthodes généra1es pour résoudre ce problème......Page 106
Cas où deux projections de même nom des deux droites sont parallèles......Page 109
Cas où les deux droites sont parallèles au même plan de projection......Page 110
Angle de deux droites et problème inverse......Page 111
Angle d'une droite avec les plans de projection......Page 112
Droites faisant des angles donnés avec les plans de projection......Page 113
Angle de deux plans dont on connaît les traces......Page 115
Problème inverse......Page 117
Angle d'un plan avec les plans de projection......Page 118
Sphère inscrite dans un tétraèdre......Page 120
Généralités sur les angles trièdres......Page 123
Cas où l'on donne les trois faces......Page 124
Cas où l'on donne un dièdre et les faces qui le comprennent......Page 127
Cas où l'on donne deux faces et le dièdre opposé à l'une d'elles......Page 128
Cas où l'on donne une face et les deux dièdres adjacents......Page 131
Cas où l'on donne une face, un dièdre adjacent et le dièdre opposé......Page 132
Exercices sur le Chapitre VI......Page 135
Méthodes pour déterminer les sections planes des polyèdres......Page 139
Sections planes des prismes des pyramides......Page 141
Points de rencontre d'une droite avec la surface d'un polyèdre......Page 144
Développement de la surface latérale d'un prisme......Page 145
Développement de la surlace latérale d'une pyramide......Page 147
Méthode générale......Page 149
Application à un exemple......Page 151
Intersection de deux pyramides......Page 154
Plans limites......Page 157
Intersection d'une pyramide et d'un prisme......Page 158
Intersection de deux prismes......Page 161
Ombre portée par un polyèdre sur un plan......Page 163
Exercices sur le chapitre VII......Page 164
Représentntlon d'un corps ; échelle d'un dessin......Page 170
Cote d'un point sur une droite......Page 171
Problème inverse......Page 172
Points à cote ronde ; intervalle......Page 173
Distance de deux points cotés d'une droite......Page 174
Pente d'un plan......Page 175
Échelle de pente d'un plan déterminé par deux droites......Page 176
Droite de pente donnée située dans un plan donné......Page 177
Plan de pente donnée passant par une droite donnée......Page 178
Rabattement d'un plan......Page 179
Plans parallèles......Page 180
Intersection de deux plans......Page 181
Conditions d'orthogonalité d'une droite et d'un plan......Page 182
Perpendiculaire commune à deux droites ; plus courte distance......Page 183
Angle d'une droite et d'un plan......Page 185
Exercices sur le Chapitre VIII......Page 186
Plan tangent ; normale, plans normaux......Page 189
Déterminer un point connaissant l'une de ses projections ; cercles de contour apparent......Page 190
Définitions relatives à ces surfaces : sommet, directrice, base......Page 193
Problème analogue pour les cylindres......Page 194
Définition des surfaces de révolution à étudier : ellipsoïdes, hyperboloïdes, paraboloïdes, surface gauche de révolution, tore......Page 195
Méridiens et parallèles......Page 196
Déterminer un point connaissant une de ses projections......Page 197
Résolution de ce problème dans le cas d'un cône ou d'un cylindre de révolution......Page 199
Un exemple quand l'axe est vertical ou de bout......Page 203
Un exemple quand l'axe est horizontal ou de front......Page 204
Un exemple quand l'axe est quelconque......Page 205
Points doubles de la méridienne......Page 206
Points à l'infini de la méridienne......Page 207
Points de rencontre d'une droite et d'une surface de révolution......Page 208
La surface gauche de révolution admet deux systèmes de génératrices......Page 209
Manière de distinguer les génératrices des deux systèmes......Page 210
Deux génératrices de même système ne se rencontrent pas et ne sont pas parallèles......Page 211
Deux génératrices de systèmes différents se rencontrent......Page 212
Cône asymptote......Page 213
Détermination d'un point de la surface gauche de révolution......Page 214
Méridienne principale......Page 215
Section par un plan passant par une génératrice......Page 216
Exercices sur le Chapitre I......Page 217
Propriété du plan tangent......Page 219
Plan tangent en un point quand la directrice est une courbe plane dont on donne le plan et le rabattement......Page 220
Règle à suivre pour mener les plans tangents passant par un point donné......Page 221
Application à un cône de révolution......Page 222
Application à un cylindre de révolution......Page 223
Cônes et cylindres circonscrits à une surface ; contours apparents ; ombres......Page 225
La projection d'une ligne sur un plan est tangenteaucontour apparent sur ce plan......Page 227
Contours apparents des cônes et des cylindres......Page 228
Un exemple relatif au cône......Page 229
Un exemple relatif au cylindre......Page 230
Cas du cône et du cylindre de révolution......Page 231
Plans tangents parallèles à un plan donné......Page 232
Plans tangents communs à un cÔne et à un cylindre......Page 233
Plans parallèles et respectivement tangents à deux cônes ; application......Page 234
Plans parallèles et respectivement tangents à deux cylindres ; application......Page 236
Plans parallèles et respectivement tangents à un cône et à un cylindre ; application......Page 237
Normales communes à deux surfaces coniques ou cylindriques......Page 239
Exercices sur le Chapitre II......Page 240
Plan tangent en un point......Page 244
Plans tangents parallèles à un plan donné......Page 245
Plans tangents passant par un point extérieur ; cône circonscrit......Page 246
Plans tangents parallèles à une direction donnée ; cylindre circonscrit......Page 247
Plans tangents par une droite......Page 248
Plans tangents à deux sphères menés par un point......Page 252
Plans tangents à deux sphères parallèles à une direction donnée......Page 253
Plans tangents communs à deux cônes de révolution de même sommet......Page 254
Application à la construction d'un trièdre dont on donne les trois dièdres......Page 255
Exercices sur le Chapitre III......Page 262
Enveloppe des plans tangents le long d'un méridien ; cylindre circonscrit......Page 264
Enveloppe des plans tangents le long d'un parallèle ; cône circonscrit le long de ce parallèle......Page 265
Cône des normales ; sphère inscrite le long d'un parallèle......Page 266
Détermination du plan tangent en un point......Page 267
Application à une surface à axe horizontal ou de front......Page 268
Application à une surface à axe quelconque......Page 269
Points remarquables d'une méridienne......Page 271
Résolution de ce problème quand le point de contact est sur un parallèle donné......Page 274
Application à une surface à axe vertical ou de bout......Page 275
Application à une surface à axe horizontal ou de front......Page 276
Application à un ellipsoïde à axe vertical......Page 278
Mener à une surface gauche de révolution le plan tangent passant par un point donné et ayant son point de contact sur une génératrice donnée......Page 279
Application à un ellipsoïde à axe vertical......Page 280
Points à l'infini de la courbe de contact du cône circonscrit......Page 284
Résolution de ce problème quand le point de contact est sur un parallèle donné......Page 285
Application à une surface à axe vertical ou de bout......Page 286
Application à une surface à axe horizontal ou de front......Page 287
Résolution du même problème quand le point de contact est sur un méridien ; cas de la surface gauche de révolution......Page 288
Application à un ellipsoïde à axe vertical......Page 289
Application à un tore......Page 290
Cas où l'axe est vertical ou de bout......Page 294
Cas où l'axe est horizontal ou de front ; application à un tore......Page 295
Remarques relatives à la représentation des surfaces......Page 298
Cas où la droite rencontre l'axe ou lui est perpendiculaire......Page 299
Cas où la surface de révolution est une quadrique......Page 300
Plans tangents parallèles à un plan donné......Page 301
Cas d'une surface gauche......Page 302
Normales passant par un point donné......Page 304
Normales renrontrant une ligne donnée......Page 305
Exercices sur le Chapitre IV......Page 306
Nature de la section et manière de l'obtenir......Page 311
Application à un exemple......Page 312
Points de rencontre d'une droite et d'une quadrique de révolution dont on connaît la méridienne......Page 314
Points de rencontre d'une surface gauche de révolution et d'une droite rencontrant l'axe......Page 316
Détermination d'un point quelconque de la section......Page 317
Tangente en un point......Page 319
Tangentes à la section par un point du plan sécant ou parallèlement à une direction de ce plan......Page 320
Nature d'une section plane......Page 321
Sommets d'une section hyperbolique......Page 322
Sommets d'une section elliptique......Page 323
Section plane d'un cylindre......Page 324
Section parabolique d'un cône circonscrit à une sphère......Page 328
Trace horizontale d'un cône ou d'un cylindre circonscrit à une surface de révolution ; ombres portées sur les plans de projection......Page 329
Exercices sur le Chapitre I......Page 333
Définition du développement et de la transformée d'une ligne......Page 342
Propriétés du développement......Page 343
Construction de la transformée d'une ligne......Page 344
Définition du développement et de la transformée d'une ligne......Page 346
Construction de la transformée d'une ligne......Page 347
Méthode géométrique......Page 349
Méthode analytique......Page 352
Transformée d'une section plane d'un cylindre de révolution......Page 353
Transformée d'une section plane d'un cylindre quelconque......Page 355
Transformée d'une section plane d'un cône quelconque......Page 358
Transformée d'une section plane d'un cône de révolution......Page 360
Exercices sur le Chapitre II......Page 363
Détermination d'un point quelconque......Page 365
Points remarquables de la section......Page 368
Première méthode basée sur la recherche des tangentes horizontales ou de front......Page 371
Deuxième méthode basée sur un changement de plans de projection......Page 372
Emploi d'un plan projetant la droite......Page 375
Cas où la droite rencontre un diamètre vertical ou de bout......Page 376
Exercices sur le Chapitre III......Page 377
Méthode générate quand le plan est quelconque......Page 383
Tangente en un point......Page 384
Parallèles limites......Page 385
Points à l'infini et asymptotes......Page 386
Section plane d'un tore......Page 387
Détermination des points de la section......Page 390
Axes et sommets......Page 391
Projection de la section sur un plan perpendiculaire à l'axe......Page 392
Degré de la surface engendrée......Page 400
Cas où la conique génératrice est une ellipse......Page 402
Cas où la conique génératrice est une parabole......Page 403
Application au cas où la surface engendrée est un tore......Page 404
Exercices sur le Chapitre III......Page 407
Cônes de même sommet......Page 411
Génératrices communes à deux cônes de révolution de même sommet......Page 412
Génératrices communes à deux cylindres de révolution à axes parallèles......Page 413
Génératrices limites......Page 415
Points sur les contours apparents......Page 416
Cas où les directrices sont planes......Page 417
Remarques relatives au cas d'un cône et d'un cylindre ou au cas de deux cylindres......Page 421
Cas où il existe des génératrices d'une surface rencontrant une génératrice multiple de l'autre surface......Page 422
Cas où les deux surfaces ont le même plan tangent en un de leurs points communs......Page 423
Ligne des points doubles......Page 426
Construction des points doubles apparents......Page 427
Points à l'infini dans l'intersection de deux cônes......Page 429
Cas d'un cône et d'un cylindre......Page 430
Asymptotes......Page 431
Points à l'infini et asymptotes dans l'intersection de deux cylindres......Page 432
Intersection d'un cône et d'un cylindre......Page 434
Intersection de deux cylindres......Page 437
Exercices sur le Chapitre I......Page 440
Détermination d'un point de l'intersection......Page 449
Parallèles limites......Page 450
Génératrices llmites et autres génératrices remarquables......Page 451
Intersection d'un paraboloïde de révolution et d'un cône......Page 452
Intersection d'un tore et d'un cône......Page 454
Détermination d'un point de l'intersection......Page 458
Points à l'infini et asymptotes......Page 459
Solide commun à un hyperboloïde de révolution et à un cylindre elliptique......Page 460
Exercices sur le Chapitre II......Page 463
Intersection de deux sphères......Page 467
Points communs à trois sphères......Page 469
Intersection de deux surfaces de révolution autour du même axe......Page 470
Points de rencontre d'une droite et d'une surface gauche de révolution (méthode de Dulau)......Page 471
Construction des points de l'intersection......Page 473
Tangente en un point......Page 475
Sphères limites et parallèles limites......Page 476
Points sur les contours apparents......Page 478
Nature de la projection sur le plan des axes......Page 479
Remarque relative aux plans qui coupent deux quadriques suivant des courbes homothétiques......Page 481
Points de rencontre d'une droite et d'une surface ganche de révolution (méthode de M. Rouché)......Page 482
Exercices sur le Chapitre III......Page 487
Compléments et notes......Page 495
Questions d'examen......Page 499
Sur l'intersection d'une droite et d'une quadrique etc. par Hioux......Page 512
Notions sur l'hélice......Page 519
Exercices divers......Page 523
Sujets de concours......Page 528