Элементы тензорного исчисления

Титульный лист......Page 1
Аннотация и выходные данные......Page 2
Введение......Page 3
1. Векторы......Page 5
2. $n$-мерное координатное линейное (векторное) пространство......Page 9
3. Линейная зависимость системы векторов. Линейное подпространство. Базис......Page 10
4. Векторы и линейные формы. Координаты вектора и линейной формы в базисе......Page 12
1. Линейные преобразования и матрицы......Page 17
2. Свойства матрицы линейного отображения и перехода от одного базиса к другому......Page 20
3. Задание линейного преобразования упорядоченной парой базисов......Page 26
1. Изменение координат вектора при переходе к новому базису......Page 29
2. Изменение координат линейной формы при переходе к новому базису......Page 30
3. Переход от одного базиса к другому и линейные преобразования......Page 32
4. Символ Кронекера......Page 34
1. Полилинейная форма и ее координаты......Page 35
2. Изменение координат билинейной формы при переходе от одного базиса к другому......Page 38
4. Изменение координат полилинейной формы при переходе от одного базиса к другому. Линейное преобразование в пространстве полилинейных форм, порожденное двумя базисами в исходном пространстве......Page 39
5. Полилинейные отображения......Page 42
6. Координаты полилинейного отображения в заданных базисах......Page 43
7. Изменение координат полилинейного отображения при переходе от одного базиса к другому......Page 44
8. Линейное преобразование в пространстве всех $m$-линейных отображений, порожденное переходом от одного базиса к другому......Page 45
1. Группы преобразований......Page 47
2. Некоторые подгруппы группы $GL(n,K)$......Page 51
1. Приводимые и неприводимые представления......Page 56
2. Операции над представлениями......Page 59
3. Кольцо представлений......Page 62
1. Представление группы $GL(n,K)$ в пространстве $L_m$ полилинейных форм на $L$......Page 63
2. Представление группы $GL(n,К)$ в пространстве $L_m^1$ полилинейных отображений......Page 68
3. Общее понятие тензора......Page 69
§ 8. Операции тензорной алгебры......Page 74
§ 9. Тензоры в курсе аналитической геометрии......Page 79
§ 1. Общий взгляд на проблему классификации тензоров......Page 82
1. Симметрические линейные формы......Page 84
2. Классификация тензоров пространства $L_2^+$ всех билинейных симметрических форм над полем $\mathbb{C}$......Page 85
3. Классификация тензоров $L_2^+$ над полем $\mathbb{R}$......Page 89
1. Классификация кососимметрических форм в $n$-мерном линейном пространстве $L$ над полем $\mathbb{C}$......Page 95
2. Классификация кососимметрических билинейных форм над полем $\mathbb{R}$......Page 99
1. Линейные преобразования как тензоры......Page 104
2. Теоремы о разложениях линейного пространства......Page 107
1. Ортогональная группа $O(n,K)$......Page 128
2. Скалярное произведение......Page 132
3. Еще раз о классификации билинейных форм......Page 135
4. Самосопряженные линейные операторы и их свойства......Page 137
5. Классификация самосопряженных линейных операторов......Page 142
6. Классификация поверхностей второго порядка......Page 145
7. Об инвариантности билинейных симметрических форм......Page 149
1. О каноническом виде билинейной кососимметрической формы......Page 151
3. Собственные значения билинейной кососимметрической формы......Page 152
4. Вспомогательная лемма......Page 154
5. Ортогональная классификация билинейных кососимметрических форм......Page 157
6. Инварианты представления $\Phi$ группы $O(n)$ в пространстве $L_2$ всех билинейных кососимметрических форм в $n$-мерном евклидовом пространстве $L$ над полем $\mathbb{R}$......Page 160
1. Постановка задачи......Page 162
2. Связь поставленной задачи с классификацией симметрических и кососимметрических форм......Page 163
3. Решение задачи для $n=2$......Page 165
§ 1. Тензоры и представления линейных групп......Page 168
1. Группа перестановок и ее групповое кольцо......Page 172
2. Разложение тензорного пространства......Page 175
3. Основная идея доказательства теоремы о примитивных идемпотентах......Page 181
4. Доказательство теоремы о разложении тензорного пространства......Page 189
5. О количестве эквивалентных неприводимых подпространств в разложении тензорного пространства......Page 195
§ 1. Две задачи теории представлений......Page 204
§ 2. Понятие о группе Ли, алгебре Ли и их представлениях......Page 206
1. Присоединенное и коприсоединенное представления......Page 211
2. Полупростые алгебры Ли......Page 213
3. Теория представлений полупростых алгебр Ли......Page 215
4. Лемма И. Шура......Page 218
5. Об инвариантных тензорах и инвариантах......Page 220
6. Теория представлений и однородные пространства......Page 222
7. Принцип включения......Page 224
1. Алгоритм разложения тензорного произведения двух неприводимых представлений алгебры Ли $SL(n,\mathbb{C})$......Page 226
3. Оператор $\lambda_t$......Page 231
4. Операции Дж. Адамса......Page 233
1. Изоморфизм алгебры Ли $SL(2,\mathbb{C})$ и $SO(3,\mathbb{C})$......Page 236
2. Веса и весовые векторы представлений $\phi_k$......Page 237
3. Формула Клебша—Гордана......Page 239
1. Трансвектанты......Page 246
3. Дискриминант......Page 247
Список литературы......Page 251
ОГЛАВЛЕНИЕ......Page 252
Выходные данные......Page 256
Обложка......Page 257