Analysis l

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Inhaltsverzeichnis......Page 13
1.1.1 Bindewörter und Klammern......Page 19
1.1.4 Abschließende Anmerkungen......Page 21
1.1.5 Übungen......Page 22
1.2.1 Der Begriff einer Menge......Page 23
1.2.2 Teilmengen......Page 25
1.2.3 Elementare Mengenoperationen......Page 27
1.2.4 Übungen......Page 29
1.3.1 Der Begriff einer Funktion (Abbildung)......Page 30
1.3.2 Elementare Klassifizierung von Abbildungen......Page 35
1.3.3 Zusammengesetzte Funktionen. Inverse Abbildungen......Page 36
1.3.4 Funktionen als Relationen. Der Graph einer Funktion......Page 38
1.3.5 Übungen......Page 42
1.4.1 Die Mächtigkeit einer Menge (Kardinalzahlen)......Page 45
1.4.2 Axiome der Mengenlehre......Page 47
1.4.3 Sätze in der Sprache der Mengenlehre......Page 49
1.4.4 Übungen......Page 51
2 Die reellen Zahlen......Page 54
2.1.1 Definition der Menge der reellen Zahlen......Page 55
2.1.2 Algebraische Eigenschaften der reellen Zahlen......Page 59
2.1.3 Das Vollständigkeitsaxiom. Die kleinste obere Schranke......Page 63
2.2.1 Die natiirlichen Zahlen. Mathematische Induktion......Page 66
2.2.2 Rationale und irrationale Zahlen......Page 69
2.2.3 Das archimedische Prinzip......Page 72
2.2.4 Geometrische Interpretation. Gesichtspunkte beim Rechnen......Page 74
2.2.5 Übungen und Aufgaben......Page 87
2.3.1 Der Satz zur Intervallschachtelung......Page 91
2.3.2 Der Satz zur endlichen Überdeckung......Page 92
2.3.3 Der Satz vom Häufungspunkt......Page 93
2.3.4 Übungen und Aufgaben......Page 94
2.4.1 Abzählbare Mengen......Page 95
2.4.2 Die Mächtigkeit des Kontinuums......Page 97
2.4.3 Übungen und Aufgaben......Page 98
3 Grenzwerte......Page 100
3.1.1 Definitionen und Beispiele......Page 101
3.1.2 Eigenschaften des Grenzwertes einer Folge......Page 103
3.1.3 Existenz des Grenzwertes einer Folge......Page 107
3.1.4 Elementares zu Reihen......Page 116
3.1.5 Übungen und Aufgaben......Page 126
3.2.1 Definitionen und Beispiele......Page 129
3.2.2 Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktion......Page 133
3.2.3 Grenzwert auf einer Basis......Page 149
3.2.4 Existenz des Grenzwertes einer Funktion......Page 154
3.2.5 Übungen und Aufgaben......Page 170
4.1.1 Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt......Page 174
4.1.2 Unstetigkeitsstellen......Page 179
4.2.1 Lokale Eigenschaften......Page 182
4.2.2 Globale Eigenschaften stetiger Funktionen......Page 184
4.2.3 Übungen und Aufgaben......Page 193
5.1.1 Problemstellung und einleitende Betrachtungen......Page 198
5.1.2 In einem Punkt differenzierbare Funktionen......Page 203
5.1.3 Tangenten und geometrische Interpretation der Ableitung......Page 206
5.1.4 Die Rolle des Koordinatensystems......Page 209
5.1.5 Einige Beispiele......Page 211
5.1.6 Übungen und Aufgaben......Page 217
5.2.1 Differentiation und arithmetische Operationen......Page 218
5.2.2 Differentiation einer verketteten Funktion (Kettenregel)......Page 222
5.2.3 Differentiation einer inversen Funktion......Page 225
5.2.5 Differentiation einer sehr einfachen impliziten Funktion......Page 230
5.2.6 Ableitungen höherer Ordnung......Page 235
5.2.7 Übungen und Aufgaben......Page 239
5.3.1 Der Satz von Fermat und der Satz von Rolle......Page 240
5.3.2 Der Mittelwertsatz und der Satz von Cauchy......Page 242
5.3.3 Die Taylorschen Formeln......Page 246
5.3.4 Übungen und Aufgaben......Page 259
5.4.1 Bedingungen für die Monotonie einer Funktion......Page 263
5.4.2 Bedingungen für ein inneres Extremum einer Funktion......Page 264
5.4.3 Bedingungen für die Konvexität einer Funktion......Page 270
5.4.4 Die Regel von L'Hôpital......Page 278
5.4.5 Das Konstruieren von Graphen von Funktionen......Page 280
5.4.6 Übungen und Aufgaben......Page 289
5.5.1 Komplexe Zahlen......Page 293
5.5.2 Konvergenz in C und Reihen mit komplexen Gliedern......Page 297
5.5.3 Eulersche Formel und Elementarfunktionen......Page 302
5.5.4 Analytischer Zugang zur Potenzreihendarstellung......Page 305
5.5.5 Algebraische Abgeschlossenheit des Körpers C......Page 310
5.5.6 Übungen und Aufgaben......Page 317
5.6 Beispiele zur Differentialrechnung in den Naturwissenschaften......Page 318
5.6.1 Bewegung eines Körpers mit veränderlicher Masse......Page 319
5.6.2 Die barometrische Höhenformel......Page 321
5.6.3 Radioaktiver Zerfall und Kernreaktoren......Page 323
5.6.4 In der Atmosphäre fallende Körper......Page 325
5.6.5 Die Zahl e und ein erneuter Blick auf exp x......Page 327
5.6.6 Schwingungen......Page 330
5.6.7 Übungen und Aufgaben......Page 333
5.7 Stammfunktionen......Page 337
5.7.1 Stammfunktionen und das unbestimmte Integral......Page 338
5.7.2 Allgemeine Methoden zur Bestimmung einer Stammfunktion......Page 340
5.7.3 Stammfunktionen rationaler Funktionen......Page 346
5.7.4 Stammfunktionen der Form ∫ R(cos x, sin x) dx......Page 350
5.7.5 Stammfunktionen der Form ∫ R(x, y(x)) dx......Page 352
5.7.6 Übungen und Aufgaben......Page 355
6.1.1 Problemstellung und einführende Betrachtungen......Page 361
6.1.2 Definition des Riemannschen Integrals......Page 363
6.1.3 Die Menge der integrierbaren Funktionen......Page 365
6.1.4 Übungen und Aufgaben......Page 379
6.2.2 Das Integral als eine additive Intervallfunktion......Page 381
6.2.3 Abschätzung, Monotonie und Mittelwertsatz......Page 384
6.2.4 Übungen und Aufgaben......Page 392
6.3.1 Das Integral und die Stammfunktion......Page 393
6.3.2 Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung......Page 396
6.3.3 Partielle Integration und Taylorsche Formel......Page 397
6.3.4 Änderung der Variablen in einem Integral......Page 399
6.3.5 Einige Beispiele......Page 401
6.3.6 Übungen und Aufgaben......Page 406
6.4.1 Additive Intervallfunktionen und das Integral......Page 409
6.4.2 Bogenlänge......Page 411
6.4.3 Die Fläche eines krummlinigen Trapezes......Page 418
6.4.5 Arbeit und Energie......Page 420
6.4.6 Übungen und Aufgaben......Page 427
6.5.1 Definition, Beispiele und wichtige Eigenschaften......Page 429
6.5.2 Konvergenz eines uneigentlichen Integrals......Page 434
6.5.3 Uneigentliche Integrale mit mehr als einer Singularität......Page 441
6.5.4 Übungen und Aufgaben......Page 444
7 Funktionen mehrerer Variabler......Page 446
7.1.1 Die Menge R[sup(m)] und der Abstand in dieser Menge......Page 447
7.1.2 Offene und abgeschlossene Mengen in R[sup(m)]......Page 448
7.1.3 Kompakte Mengen in R[sup(m)]......Page 451
7.2.1 Der Grenzwert einer Funktion......Page 453
7.2.2 Stetigkeit einer Funktion mehrerer Variabler......Page 459
7.2.3 Übungen und Aufgaben......Page 464
8.1.1 R[sup(m)] als Vektorraum......Page 465
8.1.2 Lineare Transformationen L : R[sup(m)] → R[sup(n)]......Page 466
8.1.3 Die Norm in R[sup(m)]......Page 467
8.1.4 Die euklidische Struktur auf R[sup(m)]......Page 469
8.2.1 Differenzierbarkeit und das Differential in einem Punkt......Page 470
8.2.2 Partielle Ableitung einer Funktion mit reellen Werten......Page 471
8.2.3 Die Jacobimatrix in koordinatenweiser Darstellung......Page 474
8.2.4 Partielle Ableitungen und Differenzierbarkeit in einem Punkt......Page 475
8.3.1 Linearität der Ableitung......Page 476
8.3.2 Ableitung verketteter Abbildungen (Kettenregel)......Page 479
8.3.3 Ableitung einer inversen Abbildung......Page 484
8.3.4 Übungen und Aufgaben......Page 486
8.4.1 Der Mittelwertsatz......Page 492
8.4.2 Eine hinreichende Bedingung für die Differenzierbarkeit......Page 494
8.4.3 Partielle Ableitungen höherer Ordnung......Page 495
8.4.4 Die Taylorsche Formel......Page 498
8.4.5 Extrema von Funktionen mehrerer Variabler......Page 500
8.4.6 Einige geometrische Darstellungen......Page 507
8.4.7 Übungen und Aufgaben......Page 511
8.5.1 Einleitung......Page 518
8.5.2 Ein einfacher Satz zur impliziten Funktion......Page 520
8.5.3 Übergang zur Gleichung F(x[sup(1)], …, x[sup(m)], y) = 0......Page 524
8.5.4 Der Satz zur impliziten Funktion......Page 527
8.5.5 Übungen und Aufgaben......Page 532
8.6.1 Der Satz zur inversen Funktion......Page 536
8.6.2 Lokale Reduktion in kanonische Form......Page 541
8.6.3 Funktionale Abhängigkeit......Page 546
8.6.4 Lokale Zerlegung eines Diffeomorphismus......Page 548
8.6.5 Das Morse-Lemma......Page 551
8.6.6 Übungen und Aufgaben......Page 554
8.7.1 k-dimensionale Flächen in R[sup(n)]......Page 556
8.7.2 Der Tangentialraum......Page 561
8.7.3 Extrema mit Nebenbedingungen......Page 566
8.7.4 Übungen und Aufgaben......Page 579
1. Einführung der Analysis (Zahlen, Funktionen, Grenzwerte)......Page 585
2. Differentialrechnung in einer Variablen......Page 586
3. Integration und Einführung mehrerer Variabler......Page 588
4. Differentialrechnung mehrerer Variabler......Page 589
1.1. Einleitung und Differentialrechnung in einer Variablen......Page 592
2.1. Integration. Differentialrechnung mit mehreren Variablen......Page 594
1.3 Klassische Vorlesungen in Analysis aus der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts......Page 597
3. Studienunterlagen......Page 598
4. Weiterführende Literatur......Page 599
B......Page 601
F......Page 602
H......Page 603
K......Page 604
M......Page 605
R......Page 606
W......Page 607
Z......Page 608
L......Page 609
Z......Page 610