Cours de mathematiques de Gustave Choquet

Sommaire......Page 10
Première partie : les cours à la Sorbonne......Page 18
1-1. Notations......Page 20
1-3. Propriétés des opérations élémentaires......Page 21
1-5. Produit d'un nombre fini d'ensembles......Page 24
2-2. Relation avec les opérations union et intersection......Page 25
2-4. Composition des fonctions......Page 26
2-7. Notion d'une famille. Réunion, intersection, produit d'une famille d'ensembles......Page 27
2-8. Recouvrement et partition d'un ensemble......Page 29
3-2. Relations d'équivalence......Page 30
3-3. Relations d'ordre......Page 32
4-1. Notions de puissance et de nombre cardinal. Théorème de Bernstein. Axiome du choix......Page 34
4-2. Étude de quelques nombres cardinaux. Structure de la classe des nombres cardinaux......Page 35
Exercices......Page 39
Bibliographie......Page 43
1-1. Lois de composition internes sur un ensemble......Page 44
1-2. Associativité......Page 45
1-4. Éléments réguliers......Page 46
1-5. Élément neutre. Éléments symétriques......Page 47
1-6. Structures algébriques......Page 48
1-7. Distributivité d'une loi par rapport à une autre......Page 49
2-2. Sous-groupes d'un groupe......Page 50
2-3. Isomorphismes et automorphismes......Page 51
2-4. Représentations......Page 52
2-5. Relations d'équivalence et groupe quotient......Page 53
2-6. Symétrisation d'une loi de composition associative commutative et régulière......Page 55
2-8. Groupes de transformations......Page 58
3-1. Définitions et exemples......Page 60
3-3. Relation d'équivalence sur un anneau. Idéaux (anneau quotient)......Page 62
4-1. Définitions et exemples......Page 65
4-2. Notations et règles de calcul dans les corps commutatifs et dans les corps totalement ordonnés......Page 67
4-4. Idéaux d'un corps. Représentations d'un corps......Page 68
Exercices......Page 70
1-1. Nécessité des extensions successives de l'ensemble des nombres......Page 74
1-3. Schéma d'une extension......Page 75
1-4. Qu'est-ce qu'un nombre ?......Page 76
1-5. Les ensembles de nombres......Page 77
2-1. Définition de N......Page 78
2-2. Raisonnement par récurrence......Page 79
2-3. Propriétés de la structure d'ordre N......Page 80
2-4. Ensembles finis......Page 81
2-5. L'addition sur N......Page 83
2-6. La multiplication sur N......Page 84
3-1. Définitions et théorème d'unicité......Page 86
3-2. Construction d'un groupe commutatif totalement ordonné continu......Page 90
4-1. Théorème d'existence et d'unicité......Page 92
4-2. Le corps des nombres réels......Page 93
4-3. Exponentielles et logarithmes......Page 94
5-2. Définition et propriétés immédiates de C......Page 96
5-3. Le plan complexe......Page 98
5-5. Fonctions trigonométriques......Page 99
5-6. Le théorème de d'Alembert-gauss......Page 101
Exercices......Page 103
1-1. Introduction......Page 106
1-2. Définition des espaces vectoriels. Isomorphisme......Page 107
1-3. Extension des opérations à l'ensemble des parties de E......Page 108
1-5. Sous-espaces vectoriels......Page 109
1-6. Sous-espaces supplémentaires. Somme directe......Page 111
2-1. Définition de l'indépendance linéaire......Page 114
2-2. Base d'un espace......Page 115
2-3. Base d'une somme directe. Rang d'un ensemble......Page 118
3-1. Définition d'une application linéaire. Composition d'applications linéaires. Image et image réciproque de sous-espaces......Page 119
3-4. Rang d'une application linéaire......Page 120
3-5. Image d'un système de générateurs......Page 121
3-6. Espace L(E,F). Anneau L(E,E)......Page 122
3-7. Espace dual d'un espace vectoriel......Page 123
4-1. Définition d'une équation linéaire et d'un système d'équations linéaires......Page 125
4-2. Forme des solutions d'une équation linéaire......Page 126
4-3. Systèmes linéaires scalaires......Page 127
5-3. Opérations sur les matrices......Page 129
5-4. Matrices carrées......Page 131
5-5. Changement de bases......Page 132
5-6. Matrices équivalentes......Page 133
5-7. Matrices carrées semblables......Page 134
6-1. Applications multilinéaires......Page 135
6-2. Déterminants......Page 136
6-4. Déterminant d'un endomorphisme......Page 137
6-6. Application des déterminants à la résolution des systèmes linéaires scalaires......Page 138
7-2. Réduction d'une matrice à valeurs caractéristiques distinctes......Page 141
7-3. Réduction d'une matrice quelconque......Page 142
8- Algèbres......Page 146
9-1. Variétés linéaires affines. Parallélisme. Dimension......Page 147
9-3. Intersection de variétés. Indépendance affine......Page 148
9-4. Applications affines......Page 149
9-6. Barycentres......Page 150
9-7. Parties convexes d'un espace vectoriel sur le corps R......Page 151
9-8. Cônes et cônes convexes d'un espace vectoriel sur R......Page 153
Exercices......Page 155
1-1. Énoncé du problème : interprétation géométrique......Page 164
1-2. Solutions maximales......Page 165
1-3. Unicité locale et unicité globale......Page 166
1-4. Équation intégrale du problème de Cauchy......Page 167
1-5. Méthodes des approximations successives......Page 168
1-6. Méthode de Cauchy......Page 172
1-7. Exemples de non unicité......Page 175
1-8. Interprétation géométrique de la condition de Lipschitz......Page 176
1-9. Comparaison d'intégrales......Page 177
2-2. Systèmes d'équations. Équations d'ordre n. Équations implicites......Page 179
2-3. Tonneaux de sécurité......Page 181
2-4. Solutions maximales. Unicité locale ou globale......Page 182
2-5. Intégrale définie d'une fonction vectorielle. Primitive......Page 183
2-6. Équation intégrale du problème de Cauchy. Méthode des approximations successives......Page 187
2-7. Méthode de Cauchy......Page 190
2-8. Interprétation des théorèmes d'existence et d'unicité pour une équation différentielle d'ordre n......Page 191
2-9. Théorèmes de comparaison. Variation de l'intégrale en fonction des données......Page 192
2-10. Champ d'éléments de contact. Courbes intégrales......Page 196
3-1. Définition. Existence et unicité des solutions......Page 198
3-2. Solutions d'une équation linéaire homogène......Page 199
3-3. Étude du cas où E est une algèbre. Équations x'=A(t)x se résolvant par quadratures......Page 202
3-4. Intégration de l'équation linéaire non homogène......Page 205
3-5. Cas d'un espace de dimension finie......Page 207
3-6. Cas où l'espace E est vectoriel sur le corps C......Page 209
3-7. Équations linéaires homogènes à coefficients constants......Page 210
3-8. Équations linéaires d'ordre n......Page 212
4-1. Comparaison de deux solutions au voisinage d'une solution commune......Page 216
4-2. Notations et préliminaires au théorème sur la différentiabilité......Page 218
4-3. Théorème fondamental. Équation aux variations......Page 219
5- Intégrales premières......Page 225
6-1. Définition. Exemples. Interprétation géométrique......Page 227
6-2. Conditions d'existence et d'unicité des solutions. Restrictions d'une équation y' = f(x,y) à une variété linéaire affine......Page 229
6-3. Champ d'éléments de contact......Page 233
Exercices......Page 235
1- Ouverts. Notions associées. Structures topologiques......Page 244
2-2. Fermeture d'un ensemble......Page 247
2-3. Voisinages......Page 248
3- Points adhérents. Frontière d'un ensemble......Page 249
4- Comparaison des topologies......Page 251
5- Applications continues......Page 254
6- Filtres......Page 256
7- Ultrafiltres. Bases de filtres......Page 259
8- Convergence des filtres. Limites. Espaces séparés. Espaces réguliers......Page 261
9- Divers procédés de construction des topologies. Espaces produits......Page 265
10- Espaces quotients......Page 270
11- Espaces complets......Page 272
12- Espaces localement compacts......Page 276
13- Espaces connexes......Page 279
14- Espaces localement connexes......Page 283
1-1. Espaces métriques......Page 286
1-2. Groupes topologiques abéliens......Page 287
2- Structures uniformes......Page 288
3- Comparaison des structures uniformes......Page 290
4- Structures uniformes séparées......Page 294
5- Topologie associée à une structure uniforme......Page 295
6- Espaces uniformes complets......Page 298
7- Espaces uniformes compacts......Page 305
8- Écarts et structures uniformes......Page 309
9- Espaces uniformisables. Fonctions semi-continues......Page 312
10-2. Espaces topologiques métrisables......Page 316
10-3. Espaces compacts métrisables......Page 318
11- Espaces normaux. Prolongements de fonctions numériques continues dans un espace normal......Page 321
1-1. Convergence uniforme dans un sous-ensemble......Page 324
1-2.Convergence uniforme dans les ensembles d'une famille de parties de E......Page 325
2- Caractérisation des espaces séparés et complets......Page 326
3- Espaces de fonctions continues......Page 328
4- Sous-espaces relativement compacts de Cc(E,F)......Page 329
5- Approximation des fonctions continues sur un espace compact. Théorème de Stone-Weierstrass......Page 332
Seconde partie : les cours à l'école polytechnique......Page 334
IX. Intégration......Page 336
1- Mesures de Radon et intégrale de Riemann......Page 337
2-1. Ensembles u-négligeables......Page 340
2-2. Notion de presque partout......Page 343
2-3. La convergence en moyenne dans l'espace K......Page 344
3- Espace l1 et espace L1......Page 349
3-1. Relation d'équivalence dans l1......Page 350
3-2. Semi-norme sur sup i(fi) et sur L1......Page 351
4- Relations entre convergence en moyenne et convergence presque partout......Page 353
5-1. Ensembles intégrables......Page 357
5-2. Ensembles mesurables......Page 358
5-3. Fonctions mesurables......Page 359
5-4. Quasi-continuité des fonctions mesurables......Page 362
5-5. Intégrale de fonctions mesurables >= 0......Page 364
5-6. Intégration dans un ensemble mesurable......Page 365
5-7. Seconde formule de la moyenne......Page 367
5-8. Mode d'emploi de la 2e formule de la moyenne......Page 368
6-1. Terminologie......Page 369
6-2. L'espace l infini......Page 370
6-5. Dual de lp pour p > 1......Page 371
6-6. Étude directe de l2......Page 372
7- Intégrale de fonctions dépendant d'un paramètre......Page 374
8-2. Critère d'Abel......Page 377
8-3. Intégrales semi-convergentes dépendant d'un paramètre......Page 378
9-2. Image d'une mesure par une application mesurable......Page 381
9-3. Produit de deux mesures de Radon......Page 382
9-4. Produit de n mesures......Page 383
10- Théorème de Fubini......Page 385
11- Changement de variable dans Rn fois......Page 388
12-1. Tribu de parties d'un ensemble......Page 394
12-2. Usage des mesures abstraites......Page 396
Exercices résolus......Page 397
Exercices non résolus......Page 403
Bibliographie......Page 424
1-1. Mesures de Radon bornées......Page 426
1-2. Convolution sur un groupe localement compact......Page 428
1-3. Convolution de mesures et de fonctions dans Rn......Page 430
1-4. Application de la convolution à la régularisation......Page 433
2-1. Introduction mathématique de la transformation de Fourier......Page 437
2-2. Transformée de Fourier......Page 441
2-3. Différentiabilité et comportement à l'infini des fonctions......Page 442
2-4. Formule de réciprocité de Fourier......Page 444
2-5. La formule de Plancherel......Page 446
Exercices......Page 447