Ce 4ème volume de l'ouvrage Analyse mathématique initiera le lecteur à l'analyse fonctionnelle (intégration, espaces de Hilbert, analyse harmonique en théorie des groupes) et aux méthodes de la théorie des fonctions modulaires (séries L et theta, fonctions elliptiques, usage de l'algèbre de Lie de SL2). Tout comme pour les volumes 1 à 3, on reconnaîtra ici encore, le style inimitable de l'auteur et pas seulement par son refus de l'ecriture condensée en usage dans de nombreux manuels. Mariant judicieusement les mathématiques dites 'modernes' et' classiques', la première partie (Intégration) est d'utilité universelle tandis que la seconde oriente le lecteur vers un domaine de recherche spécialisé et très actif, avec de vastes généralisations possibles.
Author(s): Roger Godement
Edition: 1
Publisher: Springer
Year: 2003
Language: French
Pages: 613
Table des matières du volume IV......Page 6
XI - Intégration et Transformation de Fourier......Page 14
i) Mesures positives......Page 19
ii) Le théorème de Dini......Page 20
iii) Intégrale d'une fonction sci......Page 22
i) Intégrales supérieures......Page 25
ii) Ensembles négligeables......Page 28
iii) Ensembles et fonctions raisonnables......Page 29
i) Définition des espaces Fp......Page 30
ii) Convergence en moyenne et presque partout......Page 32
i) Intégrale d'une fonction intégrable......Page 35
ii) Les espaces Lp ; théorème de Riesz-Fischer......Page 38
iii) Cas des fonctions sci ou scs......Page 42
i) Le théorème de convergence dominée......Page 43
ii) Relation entre Lp et L1 ; inégalité de Holder......Page 46
iii) Applications à la transformation de Fourier dans R......Page 50
i) Propriétés des ensembles intégrables......Page 53
ii) Ensembles mesurables......Page 55
i) Espaces séparables......Page 57
ii) Applications mesurables......Page 59
i) Les théorèmes d'Egoroff et de Lusin......Page 62
ii) Fonctions mesurables au sens de Lusin......Page 66
9 - Mesurabilité et intégrabilité......Page 68
i) Produit de mesures......Page 70
ii) Le théorème de Lebesgue-Fubini......Page 71
iii) Compléments au théorème de LF......Page 75
iv) La formule d'inversion de Fourier......Page 78
i) Espaces polonais......Page 79
ii) Fonctions sci sur un espace localement compact polonais......Page 85
iii) Ensembles boréliens dans un espace polonais......Page 86
i) Mesures produit......Page 88
iii) Image d'une mesure par une application......Page 89
iv) Quotient d'une mesure invariante......Page 91
i) Cas des fonctions sci......Page 92
ii) Le théorème de Lebesgue-Fubini généralisé......Page 95
14 - Fonctions intégrables pour l'image d'une mesure......Page 98
i) Mesures invariantes sur un groupe......Page 103
ii) Représentations linéaires continues......Page 105
iii) Quotient d'un espace par un groupe......Page 109
iv) Quotient d'une mesure invariante......Page 111
v) Un exemple: le groupe orthogonal dans Rn......Page 114
vi) Cas des espaces homogènes......Page 116
vii) Cas des groupes discrets......Page 118
16 - Mesures de base Lambda : fonctions intégrables......Page 123
i) Caractérisation des mesures absolument continues......Page 127
ii) Application aux mesures complexes......Page 129
iii) La décomposition de Lebesgue......Page 132
18 - Formes linéaires continues sur Lp. L'espace Linfini......Page 134
i) Définitions, formes linéaires continues......Page 138
ii) Bases orthonormales......Page 141
iii) Adjoints, opérateurs hermitiens......Page 142
iv) Spectre d'un opérateur hermitien......Page 144
v) Topologie faible......Page 146
vi) Opérateurs de Hilbert-Schmidt......Page 148
vii) Algèbres de von Neumann......Page 150
20 - Les théorèmes de Gelfand sur les algèbres normées......Page 154
21 - Une caractérisation des algèbres de fonctions continues......Page 161
i) L'algèbre de GN d'un opérateur normal......Page 163
ii) Mesure spectrale d'une algèbre d'opérateurs......Page 165
iii) Intégration par rapport à une mesure spectrale......Page 167
iv) Décomposition spectrale d'un opérateur normal......Page 172
i) Inverse d'un opérateur hermitien injectif......Page 173
ii) Prolongement canonique d'un opérateur symétrique positif......Page 177
i) Vecteurs propres virtuels......Page 182
ii) Sommes continues d'espaces de Hilbert......Page 188
iii) L'espace L2 d'une intégrale de mesures......Page 190
i) Convolutions et représentations......Page 194
ii) Convolution de deux mesures......Page 196
iii) Convolution d'une mesure et d'une fonction......Page 198
iv) Convolution de deux fonctions......Page 202
v) Suites de Dirac......Page 204
i) Caractères d'un glc commutatif......Page 206
ii) La topologie du groupe dual......Page 208
iii) L'homomorphisme canonique G dans ^^G......Page 211
i) L'algèbre A(G) et ses caractères......Page 212
ii) Décomposition spectrale de la représentation régulière......Page 215
iii) La mesure invariante du dual......Page 217
iv) Formule d'inversion de Fourier et bidualité......Page 222
28 - Compléments sur les représentations......Page 224
i) Représentations irréductibles d'un groupe central......Page 227
ii) Fonctions centrales sur un groupe compact......Page 229
iii) Décomposition spectrale de Z(G)......Page 234
iv) Caractères de Z(G) et représentations irréductibles......Page 237
v) Faciles généralisations......Page 241
i) Mesures de type positif......Page 245
ii) Cas d'un groupe commutatif......Page 246
iii) Fonctions de type positif......Page 248
i) Mesures centrales de type positif......Page 254
ii) Le théorème de commutation......Page 257
iii) Traces dans une algèbre hilbertienne......Page 263
iv) Cas d'un groupe commutatif......Page 268
v) Caractères d'un groupe localement compact......Page 269
vi) Caractères de classe (I)......Page 271
32 - Composantes discrètes de la représentation régulière......Page 274
1 - La transformée de Mellin d'une transformée de Fourier......Page 284
2 - L'équation fonctionnelle de la fonction Zêta......Page 290
3 - La méthode de Weil pour la fonction Eta(z)......Page 297
4 - La série Sigma(1/cos(pi*nz))......Page 306
i) Le domaine fondamental de Gamma(theta)......Page 309
ii) Une méthode générale......Page 311
iii) L'identité f(z)/Theta(z)²=1......Page 312
6 - Le produit infini de la fonction Theta(u,z)......Page 314
i) La méthode de Cauchy......Page 318
ii) La méthode de Dirichlet......Page 321
iii) La loi de réciprocité quadratique......Page 323
8 - L'équation fonctionnelle de Eta(z): bis......Page 327
i) Anneaux quotients......Page 328
ii) Les groupes G(m) ; caractères mod m......Page 331
iii) Relations d'orthogonalité......Page 335
iv) Sommes de Gauss......Page 336
v) Cas du caractère unité......Page 339
i) Equation fonctionnelle de Theta indice f(x;chi)......Page 343
ii) Les séries L(s,chi)......Page 344
11 - Les théorèmes de Liouville......Page 350
i) Le théorème d'Abel......Page 352
ii) Fonctions thêta générales......Page 356
iii) Les métamorphoses de la série de Jacobi......Page 358
i) Convergence des séries d'Eisenstein......Page 363
ii) La fonction p de Weierstrass......Page 366
iii) Les séries Sigma(pi²/sin²(pi*(u+nz))) et G indice 2(z)......Page 371
iv) Relation entre les fonctions ?L et Theta1......Page 373
v) Fonctions elliptiques ayant des pôles simples donnés......Page 376
vi) Les fonctions ZetaL et SigmaL......Page 379
i) Le corps des fonctions elliptiques......Page 380
ii) La surface de Riemann du corps des fonctions elliptiques......Page 382
iii) Formule d'addition......Page 385
i) Opérations de SL2(R) dans le demi-plan......Page 390
ii) Les formes automorphes comme fonctions sur G......Page 391
iii) Sous-groupes de SL2......Page 395
v) Mesure invariante......Page 398
vi) Le point de vue du disque unité......Page 401
16 - La série discrète de représentations de SL2(R)......Page 403
i) Fonctions holomorphes intégrables dans le demi-plan......Page 404
ii) Les espaces H(p,r) du disque unité......Page 408
iii) Un théorème de type Paley-Wiener pour H(2,r)(P)......Page 411
iv) La fonction noyau de H(2,r)(P)......Page 414
v) La série discrète holomorphe de représentations irréductibles de SL2(R)......Page 416
vi) Les solutions de l'équation f*omega indice r = f......Page 419
i) Générateurs du groupe modulaire......Page 424
ii) Domaine fondamental......Page 425
iii) Définition classique des formes modulaires......Page 427
iv) Séries d'Eisenstein et de Poincaré......Page 429
i) La surface de Riemann de SL2(Z)......Page 435
ii) Zéros et pôles......Page 439
iii) Construction des formes modulaires à l'aide de Delta(z) et des séries d'Eisenstein......Page 441
iv) Application aux fonctions elliptiques......Page 443
i) Deux lemmes sur les sous-groupes discrets......Page 447
ii) Généralités sur les formes automorphes......Page 451
iii) La topologie des horocycles. La surface de Riemann de Gamma......Page 456
iv) Groupes fuchsiens......Page 460
20 - Formes paraboliques et représentations de G......Page 465
i) Séries de Poincaré......Page 472
ii) Séries de Poincaré-Eisenstein......Page 479
iii) Séries d'Eisenstein......Page 483
i) Méthode générale......Page 489
ii) Cas des séries de Poincaré-Eisenstein......Page 493
iii) Cas des formes de MaaB-Selberg; prolongement analytique......Page 497
i) Les séries de Hecke......Page 506
ii) Les séries de Weil......Page 508
iii) Extension aux formes non holomorphes......Page 514
i) Les opérateurs T(x) dans un groupe abstrait......Page 517
ii) Les T(x) dans un groupe localement compact......Page 520
iii) Les opérateurs T(x) pour le groupe modulaire......Page 523
iv) Les opérateurs T(p) : cas des fonctions sur GammaG......Page 525
v) Fonctions propres des opérateurs de Hecke......Page 527
vi) Applications aux formes modulaires......Page 530
i) Définition et exemples......Page 533
ii) Opérations sur les vecteurs tangents......Page 534
iii) Dérivations et champs de vecteurs invariants......Page 536
iv) Coordonnées canoniques......Page 538
v) L'algèbre de Lie d'un groupe......Page 541
vi) Algèbres de Lie des groupes classiques......Page 543
vit) Distributions et opérateurs différentiels invariants......Page 544
i) Le sous-espace Hinfini......Page 550
ii) Difïérentiabilité faible et difïérentiabilité forte......Page 552
iii) Opérateurs de convolution dans Hinfini......Page 555
iv) Le théorème de Dixmier et Malliavin......Page 557
v) Vecteurs analytiques......Page 559
vi) Cas des représentations unitaires......Page 562
i) L'algèbre de Lie de SL2(R)......Page 565
ii) Opérateurs différentiels dans le demi-plan......Page 568
i) Le g-module HCr(f) = HC(fr)......Page 572
ii) Cas r = -p <= 0......Page 574
iii) g-modules simples de dimension finie......Page 575
iv) Condition pour que dim HCr(f) < +infini......Page 576
v) Un théorème de MaaB......Page 577
i) Classification......Page 578
ii) Modèles fonctionnels des représentations de g......Page 580
i) Le théorème de multiplicité un......Page 583
ii) Modèles fonctionnels pour G: série discrète......Page 585
iii) Modèles fonctionnels pour G : série principale paire......Page 587
Index......Page 594
Table des matières du volume I......Page 600
Table des matières du volume II......Page 604
Table des matières du volume III......Page 608
