Springer-Handbuch der Mathematik IV: Begründet von I.N. Bronstein und K.A. Semendjaew Weitergeführt von G. Grosche, V. Ziegler und D. Ziegler Herausgegeben von E. Zeidler

Vorwort......Page 6
Inhaltsverzeichnis......Page 10
10.1 Die Grundideen der modernen Analysis und ihr Verhältnis zu den Naturwissenschaften......Page 20
10.1.1 Die Grundstruktur der mathematischen Formulierung physikalischer Theorien......Page 22
10.1.2 Drei tiefe Sätze der Analysis......Page 24
10.1.3 Glattheit......Page 30
10.2 Tensoranalysis, Differentialformen und mehrfache Integrale......Page 31
10.2.1 Tensordefinition......Page 32
10.2.2 Beispiele für Tensoren......Page 33
10.2.3 Beispiele für Pseudotensoren......Page 36
10.2.4 Tensoralgebra......Page 37
10.2.5 Tensoranalysis......Page 40
10.2.6 Tensorgleichungen und das Indexprinzip der mathematischen Physik......Page 44
10.2.7 Der Cartansche Kalkül der alternierenden Differentialformen......Page 45
10.2.8 Anwendungen in der speziellen Relativitätstheorie......Page 58
10.2.9 Anwendungen in der Elektrodynamik......Page 63
10.2.10 Die geometrische Interpretation des elektromagnetischen Feldes als Krümmung eines Hauptfaserbündels (Eichfeldtheorie)......Page 70
10.3.1 Allgemeine Begriffe......Page 72
10.3.2 Einfache Integralgleichungen, die durch Differentiation auf gewöhnliche Differentialgleichungen zurückgeführt werden könn......Page 73
10.3.3 Integralgleichungen, die durch Differentiation gelöst werden können......Page 75
10.3.4 Die Abelsche Integralgleichung......Page 76
10.3.5 Volterrasche Integralgleichungen zweiter Art......Page 78
10.3.6 Fredholmsche Integralgleichungen zweiter Art und die Fredholmsche Alternative......Page 80
10.3.7 Integralgleichungen zweiter Art mit Produktkernen und ihre Zurückführung auf lineare Gleichungssysteme......Page 85
10.3.8 Fredholmsche Integralgleichungen zweiter Art mit symmetrischen Kernen (Hilbert–Schmidt-Theorie)......Page 89
10.3.9 Anwendung auf Randwertaufgaben, Fourierreihen und die schwingende Saite; die Methode der Greenschen Funktion......Page 93
10.3.10 Integralgleichungen und klassische Potentialtheorie......Page 96
10.3.11 Singuläre Integralgleichungen und das Riemann–Hilbert-Problem......Page 97
10.3.13 Näherungsverfahren......Page 99
10.4 Distributionen und lineare partielle Differentialgleichungen der mathematischen Physik......Page 102
10.4.1 Definition von Distributionen......Page 103
10.4.2 Das Rechnen mit Distributionen......Page 105
10.4.3 Die Grundlösung linearer partieller Differentialgleichungen......Page 108
10.4.4 Anwendung auf Randwertprobleme......Page 110
10.4.5 Anwendung auf Anfangswertprobleme......Page 111
10.4.6 Die Fouriertransformation......Page 112
10.4.7 Pseudodifferentialoperatoren......Page 115
10.4.8 Fourierintegraloperatoren......Page 117
10.5 Moderne Maßund Integrationstheorie......Page 120
10.5.1 Maß......Page 121
10.5.2 Integral......Page 123
10.5.3 Eigenschaften des Integrals......Page 125
10.5.4 Grenzwertsätze......Page 126
10.5.5 Eigenschaften des Lebesgueintegrals auf dem Rn......Page 127
10.5.6 Das eindimensionale Lebesgue–Stieltjes-Integral......Page 128
10.5.7 Maße auf topologischen Räumen......Page 129
Literatur zu Kapitel 10......Page 130
11.1 Grundideen......Page 134
11.1.1 Integralgleichungen als Operatorgleichungen und Fredholmoperatoren......Page 138
11.1.2 Differentialgleichungen als Operatorgleichungen und verallgemeinerte Ableitungen......Page 139
11.1.3 Das Konvergenzproblem für Fourierreihen......Page 142
11.1.4 Das Dirichletproblem und das Vervollständigungsprinzip......Page 143
11.1.5 Das Dirichletproblem und die Methode der finiten Elemente (numerische Funktionalanalysis)......Page 147
11.1.6 Ein Blick in die Geschichte der Funktionalanalysis......Page 148
11.2.1 Topologische Räume......Page 150
11.2.2 Metrische Räume......Page 155
11.2.3 Lineare Räume......Page 157
11.2.4 Banachräume......Page 166
11.2.5 Hilberträume......Page 174
11.2.6 Sobolevräume......Page 179
11.2.7 Lokalkonvexe Räume......Page 184
11.3.1 Vollständige Orthonormalsysteme und spezielle Funktionen der mathematischen Physik......Page 186
11.3.2 Quadratische Minimumprobleme und das Dirichletproblem......Page 189
11.3.3 Die Gleichung λu = Ku = f für kompakte symmetrische Operatoren K und Integralgleichungen (Hilbert–Schmidt-Theorie)......Page 192
11.3.4 Die Gleichung Au = f für Fredholmoperatoren......Page 195
11.3.5 Die Fortsetzung von Friedrichs und lineare partielle Differentialgleichungen der mathematischen Physik......Page 201
11.4.1 Iterationsverfahren......Page 205
11.4.2 Das Ritzsche Verfahren und die Methode der finiten Elemente......Page 207
11.4.3 Das duale Ritzsche Verfahren (Trefftzsches Verfahren)......Page 209
11.4.4 Das universelle Galerkinverfahren (Projektionsverfahren)......Page 211
11.4.5 Projektions-Iterationsverfahren......Page 216
11.4.6 Der Hauptsatz der numerischen Funktionalanalysis......Page 217
11.5.1 Das Hahn–Banach-Theorem und Optimierungsaufgaben......Page 218
11.5.2 Das Bairesche Kategorieprinzip......Page 223
11.5.4 Das Theorem über offene Abbildungen und korrekt gestellte Probleme......Page 224
11.5.5 Das Theorem über den abgeschlossenen Graphen......Page 225
11.5.6 Das Theorem über den abgeschlossenen Wertebereich (Fredholmsche Alternative)......Page 227
11.5.7 Kompaktheit und ein Extremalprinzip......Page 228
11.6.1 Grundbegriffe......Page 233
11.6.2 Die Spektralschar selbstadjungierter Operatoren......Page 235
11.6.3 Funktionen von Operatoren......Page 238
11.6.4 Störungstheorie......Page 241
11.6.6 Operatorfunktionen und die Interpolation von Räumen und Operatoren......Page 243
11.7.1 Grundbegriffe......Page 245
11.7.2 Kompakte Operatoren und Operatorenideale......Page 247
11.7.3 Darstellungstheorie für Operatoralgebren......Page 248
11.7.4 Anwendungen auf die Spektraltheorie normaler Operatoren......Page 250
11.8 Differentialoperatoren und Reihenentwicklungen der mathematischen Physik – eine Perle der Mathematik......Page 251
Literatur zu Kapitel 11......Page 254
12.1.1 Der Fixpunktsatz von Banach und Iterationsverfahren......Page 256
12.1.3 Der Fixpunktsatz von Bourbaki–Kneser und Halbordnung......Page 259
12.3 Differentiation von Operatoren......Page 260
12.4 Das Newtonverfahren......Page 262
12.5 Der Satz über implizite Funktionen......Page 264
12.6.1 Notwendige Bifurkationsbedingung......Page 265
12.6.3 Hinreichende und notwendige Bifurkationsbedingung für Probleme mit Variationsstruktur......Page 266
12.6.4 Stabilitätsverlust und Bifurkation......Page 267
12.6.5 Die allgemeine Methode der Bifurkationsgleichung (Methode von Ljapunov–Schmidt)......Page 268
12.7.1 Minimumprobleme......Page 269
12.7.4 Die Ljusternik–Schnirelman-Theorie für Eigenwertprobleme......Page 272
12.8 Monotone Operatoren......Page 273
12.9 Der Abbildungsgrad und topologische Existenzsätze......Page 274
12.10 Nichtlineare Fredholmoperatoren......Page 277
Literatur zu Kapitel 12......Page 278
13.1 Grundideen......Page 280
13.1.1 Einführende Beispiele......Page 281
13.1.2 Klassifikation dynamischer Systeme......Page 283
13.2.1 Qualitatives Verhalten linearer Systeme in der Umgebung stationärer Punkte......Page 284
13.2.3 Grenzzyklen......Page 286
13.3.1 Stabilität von stationären Punkten......Page 287
13.4.2 Entstehung neuer Gleichgewichtszustände (erste Elementarkatastrophe)......Page 288
13.5 Ljapunovfunktion......Page 289
13.6 Die Methode der Zentrumsmannigfaltigkeit zur vereinfachten Untersuchung der Dynamik (Versklavungsprinzip)......Page 291
13.7 Attraktoren......Page 295
13.8 Diskrete dynamische Systeme und Iterationsverfahren......Page 296
13.9 Fraktale......Page 297
13.10.1 Kontinuierliche dynamische Systeme......Page 298
13.10.2 Diskrete dynamische Systeme und Periodenverdopplung......Page 299
13.11 Ergodizität......Page 301
13.12.1 Grundideen......Page 302
13.12.2 Typische Resonanzerscheinungen......Page 303
13.12.3 Relaxation (quasistatische Näherung)......Page 304
13.13.1 Reguläres und singuläres Verhalten......Page 305
13.13.2 Strukturelle Stabilität......Page 307
13.13.3 Wesentliche Terme in der Taylorentwicklung und Normalformen......Page 308
13.13.4 Parameterfamilien und Elementarkatastrophen......Page 309
13.14 Information und Chaos......Page 311
13.15 Entropie, Strukturbildung und Mathematik der Selbstorganisation......Page 312
13.16.1 Grundideen......Page 313
13.16.2 Die Poissongleichung......Page 314
13.16.4 Die Wärmeleitungsgleichung......Page 316
13.16.5 Die Wellengleichung......Page 317
13.16.6 Die Schrödingergleichung......Page 318
13.17 Flüsse und Semiflüsse auf Banachräumen und Operatordifferentialgleichungen......Page 320
13.17.1 Konstruktion von Flüssen und Semiflüssen......Page 321
13.17.3 Anwendung auf inhomogene Differentialgleichungen......Page 322
13.18 Die allgemeine Dynamik von Quantensystemen......Page 323
13.18.1 Bewegung eines Quantenteilchens auf der x-Achse......Page 325
13.18.2 Das Wasserstoffatom......Page 326
13.18.3 Streuprozesse......Page 327
Literatur zu Kapitel 13......Page 328
14. Nichtlineare partielle Differentialgleichungen in den Naturwissenschaften......Page 330
14.1 Grundideen......Page 331
14.2.1 Fortschreitende Wellen......Page 335
14.2.2 Globale Attraktoren......Page 336
14.2.3 Ein allgemeiner Existenzsatz für quasilineare parabolische Systeme......Page 337
14.3.1 Die Lebensdauer von glatten Lösungen......Page 338
14.3.2 Ein allgemeiner Existenzsatz für nichtlineare symmetrische hyperbolische Systeme......Page 339
14.3.4 Anwendungen......Page 340
14.4.1 Die Eulerschen Gleichungen für ideale Flüssigkeiten......Page 341
14.4.2 Die Navier–Stokesschen Differentialgleichungen für viskose Flüssigkeiten und Turbulenz......Page 342
14.5.1 Grundidee......Page 345
14.5.2 Die allgemeinen Euler–Lagrange-Gleichungen......Page 348
14.5.3 Symmetrie und Erhaltungsgrößen in der Natur (das Noethertheorem)......Page 349
14.5.4 Ein Existenzsatz für stationäre Erhaltungsgleichungen......Page 351
14.5.5 Ein allgemeiner Existenzsatz für Variationsprobleme......Page 352
14.6.1 Das Variationsproblem der Elastostatik......Page 353
14.6.2 Anwendung auf nichtlineares Henckymaterial und lineares Material......Page 355
14.6.3 Die Grundgleichungen der Elastodynamik......Page 356
14.6.5 Balkenbiegung und Bifurkation......Page 358
14.8.1 Grundideen......Page 360
14.8.2 Konventionen......Page 362
14.8.3 Die Diracgleichung für die Bewegung eines relativistischen Elektrons......Page 363
14.8.4 Das Postulat der lokalen Eichinvarianz und die Maxwell–Dirac-Gleichungen der Quantenelektrodynamik......Page 365
14.8.5 Die Grundideen der Quantenfeldtheorie......Page 366
14.8.6 SU(N)-Eichfeldtheorie......Page 368
14.9 Die Geometrisierung der modernen Physik (Kraft = Krümmung)......Page 371
Literatur zu Kapitel 14......Page 373
15.1 Grundbegriffe......Page 376
15.1.1 Definition einer Mannigfaltigkeit......Page 377
15.1.2 Konstruktion von Mannigfaltigkeiten im Rn......Page 379
15.1.3 Orientierbarkeit......Page 380
15.1.4 Klassischer Tensorkalkül auf Mannigfaltigkeiten......Page 381
15.1.5 Differentiation von klassischen Tensorfeldern......Page 382
15.1.6 Tangentenvektoren und Tangentialraum......Page 383
15.1.7 Kotangentenvektoren und Kotangentialraum......Page 385
15.1.8 Untermannigfaltigkeiten......Page 386
15.1.10 Mannigfaltigkeiten als topologische Räume......Page 387
15.2 Glatte Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten......Page 388
15.3 Konstruktion von Mannigfaltigkeiten......Page 390
15.4.1 Tensoralgebra......Page 392
15.4.3 Differentialformen......Page 394
15.4.4 Transformation von Tensorfeldern mittels Diffeomorphismen......Page 398
15.4.5 Dynamische Systeme auf Mannigfaltigkeiten......Page 400
15.4.6 Lieableitung von Tensorfeldern......Page 401
15.4.7 Der Satz von Frobenius......Page 404
15.5 Anwendungen in der Thermodynamik......Page 408
15.6.1 Grundidee......Page 410
15.6.2 Klassische Mechanik auf Mannigfaltigkeiten......Page 411
15.6.3 Symplektische Geometrie......Page 412
15.7.1 Das Grundmodell der statistischen Physik......Page 413
15.7.2 Anwendungen auf die Quantenstatistik......Page 415
15.7.3 Klassische Gibbssche Statistik im Phasenraum......Page 416
15.8 Operatoralgebren in der Physik und nichtkommutative Geometrie......Page 417
Literatur zu Kapitel 15......Page 418
16.1 Der klassische Kalkül......Page 420
16.1.1 Messung von Längen, Winkeln und Volumina......Page 421
16.1.2 Krümmung......Page 422
16.1.4 Geodätische Kurven (verallgemeinerte Geraden)......Page 423
16.1.5 Anwendung auf die nichteuklidische Geometrie......Page 424
16.1.6 Der d-0perator und der Laplaceoperator......Page 426
16.1.8 Der *-Operator von Hodge......Page 427
16.2.1 Messung von Längen, Winkeln und Volumina......Page 428
16.2.3 Kovariante Differentiation und Paralleltransport auf Mannigfaltigkeiten mit linearem Zusammenhang......Page 429
16.2.4 Torsion und Krümmung auf Mannigfaltigkeiten mit linearem Zusammenhang......Page 431
16.2.6 Geodätische......Page 432
16.3.1 Längentreue Abbildungen......Page 434
16.3.2 Winkeltreue (konforme) Abbildungen......Page 436
16.4 Kählermannigfaltigkeiten......Page 437
16.5.1 Physikalische Grundidee......Page 438
16.5.2 Die Grundgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie......Page 439
16.5.3 Die Schwarzschildmetrik eines Zentralkörpers......Page 440
16.5.5 Die Expansion des Weltalls (Urknall)......Page 441
Literatur zu Kapitel 16......Page 444
17. Liegruppen, Liealgebren und Elementarteilchen - Mathematik der Symmetrie......Page 446
17.1 Grundideen......Page 447
17.2.1 Grundbegriffe......Page 456
17.2.2 Morphismen von Gruppen......Page 457
17.2.3 Darstellungen von Gruppen......Page 459
17.2.4 Kategorien und Funktoren zur Beschreibung allgemeiner Strukturprinzipien der modernen Mathematik......Page 461
17.3 Darstellungen endlicher Gruppen......Page 463
17.4.1 Grundbegriffe......Page 465
17.4.2 Beispiele von Liealgebren......Page 466
17.4.3 Darstellungen von Liealgebren......Page 468
17.5.1 Grundbegriffe......Page 469
17.5.2 Der enge Zusammenhang zwischen Liegruppen und ihren Liealgebren (das Liesche Linearisierungsprinzip)......Page 470
17.5.4 Beispiele......Page 472
17.5.5 Physikalische Interpretation der Liealgebra einer Liegruppe......Page 473
17.5.6 Darstellungen......Page 474
17.6 Darstellungen der Permutationsgruppe und Darstellungen klassischer Gruppen......Page 475
17.7 Anwendungen auf den Elektronenspin......Page 480
17.8 Anwendungen auf das Quarkmodell der Elementarteilchen......Page 483
17.9 Darstellungen kompakter Liegruppen und spezielle Funktionen der mathematischen Physik......Page 491
17.10 Transformationsgruppen und Symmetrie von Mannigfaltigkeiten......Page 493
17.11 Differentialgleichungen und Symmetrie......Page 497
17.11.1 Invariante Funktionen......Page 498
17.11.2 Invariante Differentialgleichungen......Page 499
17.11.3 Anwendungen auf gewöhnliche Differentialgleichungen......Page 500
17.11.4 Anwendungen auf partielle Differentialgleichungen......Page 501
17.12 Die innere Symmetrie Liescher Gruppen und ihrer Liealgebren......Page 502
17.13 Differentialformen mit Werten in einer Liealgebra......Page 504
Literatur zu Kapitel 17......Page 505
18.1 Das Ziel der Topologie......Page 506
18.2.1 Der Hauptsatz der topologischen Flächentheorie......Page 510
18.2.2 Dynamische Systeme auf Mannigfaltigkeiten......Page 511
18.2.4 Der Satz von Gauß-Bonnet-Chern......Page 512
18.3 Homotopie (Deformation)......Page 514
18.3.2 Der Abbildungsgrad......Page 515
18.3.3 Die Fundamentalgruppe......Page 516
18.3.4 Überlagerungsmannigfaltigkeiten......Page 518
18.4 Der anschauliche Hintergrund der Dualität zwischen Homologie und Kohomologie......Page 519
18.5 De Rhamsche Kohomologie......Page 522
18.6.1 Die Homologie eines Dreiecks......Page 525
18.6.2 Singuläre Homologie topologischer Räume......Page 527
18.6.4 Der Satz von de Rham über Differentialgleichungen für Formen auf Mannigfaltigkeiten......Page 529
18.7 Exakte Sequenzen......Page 530
18.7.1 Die Mayer–Vietoris-Sequenz......Page 531
18.7.2 Homologieund Kohomologiegruppen mit beliebigen Koeffizienten......Page 532
18.7.3 Höhere Homotopiegruppen......Page 534
18.7.4 Die exakte Homotopiesequenz eines Faserbündels......Page 535
18.7.5 Fundamentalgruppe und Symmetrie......Page 537
Literatur zu Kapitel 18......Page 539
19.1 Grundideen......Page 540
19.2 Bündel......Page 542
19.3 Produktbündel und Eichfeldtheorie......Page 544
19.4 Paralleltransport in Hauptfaserbündeln und Krümmung......Page 547
19.4.3 Geometrische Interpretation......Page 548
19.5 Paralleltransport in Vektorraumbündeln und kovariante Richtungsableitung......Page 550
19.6 Anwendung auf die Methode des repère mobile von É. Cartan......Page 553
19.6.1 Die globalen Strukturgleichungen von Cartan......Page 555
19.7 Die Wegabhängigkeit des Paralleltransports, Holonomiegruppen und der Aharonov-Bohm-Effekt in der Quantenmechanik......Page 556
19.8 Die Struktur Riemannscher Flächen......Page 558
19.8.1 Algebraische Funktionen als komplexe Kurven......Page 560
19.8.2 Kompakte Riemannsche Flächen......Page 564
19.8.3 Der Uniformisierungssatz......Page 566
19.9 Garbenkohomologie und die Konstruktion meromorpher Funktionen......Page 568
19.9.1 Garben......Page 569
19.9.2 Die Lösung des Cousinschen Problems......Page 570
19.9.4 Garbenkohomologie......Page 571
19.10.1 Grundideen......Page 573
19.10.2 Die Kohomologiealgebra H*(M) einer Mannigfaltigkeit M......Page 575
19.10.3 Der Weil-Morphismus und charakteristische Klassen......Page 577
19.10.4 Chernklassen......Page 578
19.11 Das Atiyah-Singer-Indextheorem......Page 580
19.11.1 Die analytische Form des Indextheorems für elliptische Differentialoperatoren......Page 581
19.11.2 Die topologische Form des Indextheorems für elliptische Differentialoperatoren......Page 583
19.11.3 Das Indextheorem für elliptische Komplexe......Page 584
19.11.4 Anwendungen auf den de Rham Komplex......Page 586
19.11.6 Das Theorem von Riemann–Roch–Hirzebruch......Page 587
19.12 Minimalflächen......Page 588
19.13 Stringtheorie......Page 591
19.14 Supermathematik und Superstringtheorie......Page 595
Literatur zu Kapitel 19......Page 597
Mathematik der Frühzeit......Page 600
Mathematik der Antike......Page 601
Mathematik der Renaissance......Page 602
Mathematik des Aufklärungszeitalters......Page 603
Mathematik des 19. Jahrhunderts......Page 605
Mathematik des 20. Jahrunderts......Page 608
Fieldsmedaille in der Mathematik......Page 616
Rolf-Nevanlinna-Preis in der theoretischen Informatik......Page 617
Wolfpreis in der Mathematik......Page 618
Literatur zur Geschichte der Mathematik......Page 619
Biographien......Page 620
Mathematik, Philosophie, Computer und menschliche Kultur......Page 621
Mengen......Page 624
Zahlen......Page 625
Reelle Zahlen und Grenzwerte......Page 626
Elementare Funktionen......Page 627
Integration......Page 628
Funktionenräume......Page 629
Griechisches Alphabet......Page 630
Index......Page 631