М.: Либроком, 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01750-3.Настоящая книга содержит строгое систематическое изложение основ теории некоторых специальных чисел натурального ряда: фигурных чисел, чисел Мерсенна и Ферма, совершенных и дружественных чисел, чисел Пифагора и Каталана. Описана история возникновения и основные этапы научного исследования указанных классов натуральных чисел; представлены доказательства большинства классических утверждений, связанных с изучаемыми объектами, рассмотрен ряд их менее известных (но зачастую не менее интересных) свойств и практических приложений. Помимо теоретической части, каждый раздел содержит обширный список задач, от простейших до весьма сложных, решение которых может послужить стимулом к самостоятельным научным исследованиям в соответствующей области.
Пособие предназначено для преподавателей и студентов высших учебных заведений, прежде всего математических факультетов педагогических вузов, для учителей профильных школ, а также для всех, кого интересуют арифметические проблемы, привлекает красота и многовековая история теории чисел.
Содержание:
Обозначения
Введение
Фигурные числа
История вопроса. Определение и формулы плоских фигурных чисел. Интересные закономерности плоских фигурных чисел. Нахождение квадратных чисел, являющихся треугольными. Задача Эйлера о количестве содержания данного числа во всех многоугольных числах. Центральные многоугольные числа. Пространственные фигурные числа. О роли фигурных чисел в математике. Задачи
Числа Мерсенна и Ферма
Простые числа. Способы проверки простоты числа. Формулы простых чисел. Числа Ферма. История вопроса. Простейшие свойства чисел Ферма. Методы проверки простоты чисел Ферма. Числа Ферма. Нерешенные проблемы. Числа Мерсенна. История вопроса. Элементарные свойства чисел Мерсенна. Определение простоты чисел Мерсенна. Числа Мерсенна. Нерешенные проблемы. Задачи
Совершенные и дружественные числа
История вопроса. Арифметические функции τ(n) и σ(n). Четные совершенные числа. Формула Евклида-Эйлера. Нечетные совершенные числа. Простейшие свойства совершенных чисел. Избыточные и недостаточные числа. Обобщения понятия совершенного числа. Дружественные числа. Правила Сабита и Эйлера. Свойства дружественных чисел. Обобщения дружественных чисел. Задачи
Числа Пифагора
История вопроса. Примитивные пифагоровы тройки. Методы генерации пифагоровых троек. Арифметические свойства пифагоровых треугольников. Значения сторон пифагоровых треугольников. Пифагоровы треугольники с общими элементами. Пифагоровы треугольники-близнецы. Пифагоровы треугольники, стороны которых являются квадратами. Пифагоровы треугольники и точки плоскости. Героновы треугольники. Пифагоровы четверки. Великая теорема Ферма. Задачи
Числа Каталана. История вопроса. Определение чисел Каталана. Свойства чисел Каталана. Задачи, приводящие к числам Каталана. Последовательность Каталана и другие специальные комбинаторные числа. Треугольник Каталана. Задачи
Литература
