Everything You Always Wanted To Know About Mathematics

I Learning to Think Mathematically 11
1 What Is Mathematics? 13
1.1 Truths and Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1 Triangle Tangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.2 Prime Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.3 Irrational Irreverence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Exposition Exhibition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1 Simply Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.2 Write Right . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.3 Pick Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.4 Obvious Obfuscation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3 Review, Redo, Renew . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.1 Quick Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3.2 Algebra Abracadabra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.3 Polynomnomnomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.3.4 Let's Talk About Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.3.5 Notation Station . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.4 Quizzical Puzzicles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.4.1 Funny Money . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.4.2 Gauss in the House . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.4.3 Some Other Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.4.4 Friend Trends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.4.5 The Full Monty Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.5 It's Wise To Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1.6 Lookahead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2 Mathematical Induction 101
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.1.1 Objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.1.2 Segue from previous chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.1.3 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.1.4 Goals and Warnings for the Reader . . . . . . . . . . . . . 103
2.2 Examples and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.2.1 Turning Cubes Into Bigger Cubes . . . . . . . . . . . . . 104
3
4 CONTENTS
2.2.2 Lines On The Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.2.3 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.3 Dening Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.3.1 The Domino Analogy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.3.2 Other Analogies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.3.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.3.4 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.4 Two More (Dierent) Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.4.1 Dominos and Tilings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.4.2 Winning Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.4.3 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.5.1 Recursive Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.5.2 The Tower of Hanoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.5.3 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.7 Chapter Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.8 Lookahead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3 Sets 149
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1.1 Objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1.2 Segue from previous chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.1.3 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.1.4 Goals and Warnings for the Reader . . . . . . . . . . . . . 151
3.2 The Idea of a \Set" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.3 Denition and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.3.1 Denition of \Set" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.3.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.3.3 How To Dene a Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.3.4 The Empty Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.3.5 Russell's Paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.3.6 Standard Sets and Their Notation . . . . . . . . . . . . . 162
3.3.7 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.4 Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.4.1 Denition and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.4.2 The Power Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.4.3 Set Equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.4.4 The \Bag" Analogy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.4.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.5 Set Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.5.1 Intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.5.2 Union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.5.3 Dierence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.5.4 Complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.5.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
CONTENTS 5
3.6 Indexed Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.6.2 Indexed Unions and Intersections . . . . . . . . . . . . . . 181
3.6.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.6.4 Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.6.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.7 Cartesian Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.7.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.7.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.7.3 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.8 Dening the Natural Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.8.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.8.2 Principle of Mathematical Induction . . . . . . . . . . . . 193
3.8.3 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.9 Proofs Involving Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
3.9.1 Logic and Rigor: Using Denitions . . . . . . . . . . . . . 194
3.9.2 Proving \" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.9.3 Proving \=" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
3.9.4 Disproving Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
3.9.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.10 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.11 Chapter Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.12 Lookahead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4 Logic 215
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.1.1 Objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.1.2 Segue from previous chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.1.3 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.1.4 Goals and Warnings for the Reader . . . . . . . . . . . . . 216
4.2 Mathematical Statements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
4.2.2 Examples and Non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.2.3 Variable Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.2.4 Word Order Matters! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.2.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.3 Quantiers: Existential and Universal . . . . . . . . . . . . . . . 226
4.3.1 Usage and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
4.3.2 The phrase \such that", and the order of quantiers . . . 229
4.3.3 \Fixed" Variables and Dependence . . . . . . . . . . . . . 230
4.3.4 Specifying a quantication set . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.3.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
4.4 Logical Negation of Quantied Statements . . . . . . . . . . . . . 235
4.4.1 Negation of a universal quantication . . . . . . . . . . . 235
4.4.2 Negation of an existential quantication . . . . . . . . . . 236
4.4.3 Negation of general quantied statements . . . . . . . . . 237
6 CONTENTS
4.4.4 Method Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.4.5 The Law of the Excluded Middle . . . . . . . . . . . . . . 240
4.4.6 Looking Back: Indexed Set Operations and Quantiers . 241
4.4.7 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.5 Logical Connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.5.1 And . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.5.2 Or . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
4.5.3 Conditional Statements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
4.5.4 Looking Back: Set Operations and Logical Connectives . 255
4.5.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.6 Logical Equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
4.6.1 Denition and Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
4.6.2 Necessary and Sucient Conditions . . . . . . . . . . . . 263
4.6.3 Proving Logical Equivalences: Associative Laws . . . . . . 264
4.6.4 Proving Logical Equivalences: Distributive Laws . . . . . 268
4.6.5 Proving Logical Equivalences: De Morgan's Laws (Logic) 269
4.6.6 Using Logical Equivalences: DeMorgan's Laws (Sets) . . . 270
4.6.7 Proving Set Containments via Conditional Statements . . 271
4.6.8 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
4.7 Negation of Any Mathematical Statement . . . . . . . . . . . . . 278
4.7.1 Negating Conditional Statements . . . . . . . . . . . . . . 278
4.7.2 Negating Any Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
4.7.3 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
4.8 Truth Values and Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
4.9 Writing Proofs: Strategies and Examples . . . . . . . . . . . . . . 286
4.9.1 Proving 9 Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
4.9.2 Proving 8 Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
4.9.3 Proving _ Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
4.9.4 Proving ^ Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
4.9.5 Proving =) Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
4.9.6 Proving () Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
4.9.7 Disproving Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
4.9.8 Using assumptions in proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
4.9.9 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
4.10 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
4.11 Chapter Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
4.12 Lookahead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
5 Rigorous Mathematical Induction 321
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
5.1.1 Objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
5.2 Regular Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
5.2.1 Theorem Statement and Proof . . . . . . . . . . . . . . . 322
5.2.2 Using Induction: Proof Template . . . . . . . . . . . . . . 324
5.2.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
5.2.4 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
CONTENTS 7
5.3 Other Variants of Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
5.3.1 Starting with a Base Case other than n = 1 . . . . . . . . 331
5.3.2 Inducting Backwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
5.3.3 Inducting on the Evens/Odds . . . . . . . . . . . . . . . . 335
5.3.4 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
5.4 Strong Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
5.4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
5.4.2 Theorem Statement and Proof . . . . . . . . . . . . . . . 343
5.4.3 Using Strong Induction: Proof Template . . . . . . . . . . 348
5.4.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
5.4.5 Comparing \Regular" and Strong Induction . . . . . . . . 355
5.4.6 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
5.5 Variants of Strong Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
5.5.1 \Minimal Criminal" Arguments . . . . . . . . . . . . . . . 358
5.5.2 The Well-Ordering Principle of N . . . . . . . . . . . . . . 362
5.5.3 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
5.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
5.7 Chapter Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
5.8 Lookahead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
II Learning Mathematical Topics 375
6 Relations and Modular Arithmetic 377
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
6.1.1 Objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
6.1.2 Segue from previous chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
6.1.3 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
6.1.4 Goals and Warnings for the Reader . . . . . . . . . . . . . 379
6.2 Abstract (Binary) Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
6.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
6.2.2 Properties of Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
6.2.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
6.2.4 Proving/Disproving Properties of Relations . . . . . . . . 386
6.2.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
6.3 Order Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
6.3.1 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
6.4 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
6.4.1 Denition and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
6.4.2 Equivalence Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
6.4.3 More Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
6.4.4 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
6.5 Modular Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
6.5.1 Denition and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
6.5.2 Equivalence Classes modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . 423
6.5.3 Multiplicative Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
8 CONTENTS
6.5.4 Some Helpful Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
6.5.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
6.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
6.7 Chapter Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
6.8 Lookahead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
7 Functions and Cardinality 467
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
7.1.1 Objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
7.1.2 Segue from previous chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
7.1.3 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
7.1.4 Goals and Warnings for the Reader . . . . . . . . . . . . . 469
7.2 Denition and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
7.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
7.2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
7.2.3 Equality of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
7.2.4 Schematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
7.2.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
7.3 Images and Pre-images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
7.3.1 Image: Denition and Examples . . . . . . . . . . . . . . 482
7.3.2 Proofs about Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
7.3.3 Pre-Image: Denition and Examples . . . . . . . . . . . . 493
7.3.4 Proofs about Pre-Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
7.3.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
7.4 Properties of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
7.4.1 Surjective (Onto) Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
7.4.2 Injective (1-to-1) Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
7.4.3 Proof Techniques for Jections . . . . . . . . . . . . . . . . 506
7.4.4 Bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
7.4.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
7.5 Compositions and Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
7.5.1 Composition of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
7.5.2 Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
7.5.3 Bijective () Invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
7.5.4 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
7.6 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
7.6.1 Motivation and Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
7.6.2 Finite Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
7.6.3 Countably Innite Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
7.6.4 Uncountable Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
7.6.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
7.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
7.8 Chapter Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
7.9 Lookahead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
CONTENTS 9
8 Combinatorics 567
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
8.1.1 Objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
8.1.2 Segue from previous chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
8.1.3 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
8.1.4 Goals and Warnings for the Reader . . . . . . . . . . . . . 569
8.2 Basic Counting Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
8.2.1 The Rule of Sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
8.2.2 The Rule of Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
8.2.3 Fundamental Counting Objects and Formulas . . . . . . . 580
8.2.4 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
8.3 Counting Arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
8.3.1 Poker Hands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
8.3.2 Other Card-Counting Examples . . . . . . . . . . . . . . . 595
8.3.3 Other Counting Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604
8.3.4 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
8.4 Counting in Two Ways . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
8.4.1 Method Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
8.4.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
8.4.3 Standard Counting Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
8.4.4 Binomial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639
8.4.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
8.5 Selections with Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
8.5.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
8.5.2 Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
8.5.3 Equivalent Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
8.5.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
8.5.5 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
8.6 Pigeonhole Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
8.6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
8.6.2 Statement and Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
8.6.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
8.6.4 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656
8.7 Inclusion/Exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
8.7.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
8.7.2 Statement and Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658
8.7.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659
8.7.4 Questions & Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
8.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
8.9 Chapter Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663
8.10 Lookahead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
10 CONTENTS
A Denitions and Theorems 671
A.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
A.1.1 Standard Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
A.1.2 Set-Builder Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
A.1.3 Elements and Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
A.1.4 Power Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
A.1.5 Set Equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
A.1.6 Set Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
A.1.7 Indexed Set Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674
A.1.8 Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674
A.2 Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675
A.2.1 Statements and Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . 675
A.2.2 Quantiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675
A.2.3 Connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676
A.2.4 Logical Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677
A.2.5 Proof Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678
A.3 Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
A.3.1 Principle of Specic Mathematical Induction . . . . . . . 680
A.3.2 Principle of Strong Mathematical Induction . . . . . . . . 680
A.3.3 \Minimal Criminal" Argument . . . . . . . . . . . . . . . 681
A.4 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682
A.4.1 Properties of Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682
A.4.2 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682
A.4.3 Modular Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684
A.5 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
A.5.1 Images and Pre-Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
A.5.2 Jections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
A.5.3 Composition of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
A.5.4 Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688
A.5.5 Proof Techniques for Functions . . . . . . . . . . . . . . . 688
A.6 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692
A.6.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692
A.6.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692
A.6.3 Standard Catalog of Cardinalities . . . . . . . . . . . . . . 694
A.7 Combinatorics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
A.7.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
A.7.2 Counting Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
A.7.3 Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
A.7.4 Standard Counting Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . 696
A.7.5 Counting In Two Ways . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696
A.7.6 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696
A.7.7 Inclusion/Exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
A.7.8 Pigeonhole Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
A.8 Acronyms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698
A.8.1 General Phrases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698
A.8.2 Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698