Elementary Differential Equations

Cover......Page 1
Title Page......Page 7
Copyright......Page 8
The Authors
......Page 10
Preface......Page 11
WileyPLUS......Page 15
Acknowledgments......Page 17
Contents......Page 19
1.1: Some Basic Mathematical Models; Direction Fields......Page 23
Problems......Page 29
1.2: Solutions of Some Differential Equations......Page 32
Problems......Page 37
1.3: Classification of Differential Equations......Page 41
Problems......Page 46
1.4: Historical Remarks......Page 48
References......Page 51
2.1: Linear Equations; Method of Integrating Factors......Page 53
Problems......Page 61
2.2: Separable Equations......Page 64
Problems......Page 70
2.3: Modeling with First Order Equations......Page 73
Problems......Page 82
2.4: Differences Between Linear and Nonlinear Equations......Page 90
Theorem 2.4.1......Page 91
Theorem 2.4.2......Page 92
Problems......Page 98
2.5: Autonomous Equations and Population Dynamics......Page 100
Problems......Page 110
2.6: Exact Equations and Integrating Factors......Page 117
Theorem 2.6.1......Page 118
Problems......Page 123
2.7: Numerical Approximations: Euler's Method......Page 124
Problems......Page 132
2.8: The Existence and Uniqueness Theorem......Page 134
Theorem 2.8.1......Page 135
Problems......Page 142
2.9: First Order Difference Equations......Page 144
Problems......Page 153
Problems......Page 155
References......Page 158
3.1: Homogeneous Equations with Constant Coefficients......Page 159
Problems......Page 166
3.2: Solutions of Linear Homogeneous Equations; the Wronskian......Page 167
Theorem 3.2.1......Page 168
Theorem 3.2.2......Page 169
Theorem 3.2.4......Page 171
Theorem 3.2.5......Page 173
Theorem 3.2.6......Page 175
Theorem 3.2.7......Page 176
Problems......Page 177
3.3: Complex Roots of the Characteristic Equation......Page 180
Problems......Page 186
3.4: Repeated Roots; Reduction of Order......Page 189
Problems......Page 194
3.5: Nonhomogeneous Equations; Method of Undetermined Coefficients......Page 197
Theorem 3.5.2......Page 198
Problems......Page 206
3.6: Variation of Parameters......Page 208
Theorem 3.6.1......Page 211
Problems......Page 212
3.7: Mechanical and Electrical Vibrations......Page 214
Problems......Page 225
3.8: Forced Vibrations......Page 229
Problems......Page 239
References......Page 241
4.1: General Theory of nth Order Linear Equations......Page 243
Theorem 4.1.1......Page 244
Theorem 4.1.2......Page 245
Theorem 4.1.3......Page 247
Problems......Page 248
4.2: Homogeneous Equations with Constant Coefficients......Page 250
Problems......Page 255
4.3: The Method of Undetermined Coefficients......Page 258
Problems......Page 261
4.4: The Method of Variation of Parameters......Page 263
Problems......Page 266
References......Page 267
5.1: Review of Power Series......Page 269
Problems......Page 275
5.2: Series Solutions Near an Ordinary Point, Part I......Page 276
Problems......Page 285
5.3: Series Solutions Near an Ordinary Point, Part II......Page 287
Theorem 5.3.1......Page 288
Problems......Page 291
5.4: Euler Equations; Regular Singular Points......Page 294
Problems......Page 302
5.5: Series Solutions Near a Regular Singular Point, Part I......Page 304
Problems......Page 308
5.6: Series Solutions Near a Regular Singular Point, Part II......Page 310
Theorem 5.6.1......Page 315
Problems......Page 316
5.7: Bessel's Equation......Page 318
Problems......Page 327
References......Page 330
6.1: Definition of the Laplace Transform......Page 331
Theorem 6.1.1......Page 333
Theorem 6.1.2......Page 334
Problems......Page 337
Theorem 6.2.1......Page 339
Corollary 6.2.2......Page 340
Problems......Page 346
6.3: Step Functions......Page 349
Theorem 6.3.1......Page 352
Theorem 6.3.2......Page 354
Problems......Page 355
6.4: Differential Equations with Discontinuous Forcing Functions......Page 358
Problems......Page 362
6.5: Impulse Functions......Page 365
Problems......Page 370
Theorem 6.6.1......Page 372
Problems......Page 376
References......Page 380
7.1: Introduction......Page 381
Theorem 7.1.1......Page 384
Problems......Page 385
7.2: Review of Matrices......Page 390
Problems......Page 398
7.3: Systems of Linear Algebraic Equations; Linear Independence, Eigenvalues, Eigenvectors......Page 400
Problems......Page 410
7.4: Basic Theory of Systems of First Order Linear Equations......Page 412
Theorem 7.4.1......Page 413
Theorem 7.4.2......Page 414
Theorem 7.4.4......Page 415
Problems......Page 416
7.5: Homogeneous Linear Systems with Constant Coefficients......Page 418
Problems......Page 427
7.6: Complex Eigenvalues......Page 430
Problems......Page 439
7.7: Fundamental Matrices......Page 443
Problems......Page 449
7.8: Repeated Eigenvalues......Page 451
Problems......Page 458
7.9: Nonhomogeneous Linear Systems......Page 462
Problems......Page 469
References......Page 471
8.1: The Euler or Tangent Line Method......Page 473
Problems......Page 482
8.2: Improvements on the Euler Method......Page 484
Problems......Page 488
8.3: The Runge–Kutta Method......Page 490
Problems......Page 493
8.4: Multistep Methods......Page 494
8.5: Systems of First Order Equations......Page 500
Problems......Page 503
8.6: More on Errors; Stability......Page 504
Problems......Page 513
References......Page 515
9.1: The Phase Plane: Linear Systems......Page 517
Problems......Page 527
9.2: Autonomous Systems and Stability......Page 530
Problems......Page 539
Theorem 9.3.1......Page 541
Theorem 9.3.2......Page 545
Problems......Page 549
9.4: Competing Species......Page 553
Problems......Page 563
9.5: Predator–Prey Equations......Page 566
Problems......Page 573
9.6: Liapunov's Second Method......Page 576
Theorem 9.6.2......Page 580
Theorem 9.6.3......Page 582
Theorem 9.6.4......Page 583
Problems......Page 584
9.7: Periodic Solutions and Limit Cycles......Page 587
Theorem 9.7.2......Page 590
Theorem 9.7.3......Page 591
Problems......Page 596
9.8: Chaos and Strange Attractors: The Lorenz Equations......Page 599
Problems......Page 606
References......Page 609
Answers to Problems......Page 611
Index......Page 659