ArXiv: 2015. - 917 с.Версия 2 (4.11.2015)Настоящий текст представляет собой черновик учебника по математическому анализу, который автор надеется опубликовать в обозримом будущем. Главную цель изложения автор видит в построении университетского курса анализа, как аксиоматической системы. Принципиально доказываются все (нетривиальные) формулируемые утверждения, за исключением нескольких фактов общематематического значения (таких, как теорема Гёделя о неполноте или парадокс Банаха-Тарского), приводимых в тексте только для прояснения мотивировок, и никак не проявляющих себя в логической структуре курса. По способу подачи материал делится на основной, излагаемый текстом в одну колонку, и иллюстративный, представленный двумя колонками. Разница между тем и другим состоит в том, что основной материал задуман, как логически последовательное изложение основных утверждений теории, в котором, в частности, не допускаются ссылки на утверждения, не доказанные на момент цитирования. В иллюстративном материале, наоборот, приоритетом считается обеспечение читателя достаточным количеством примеров и упражнений для скорейшего привыкания к используемым в основном тексте понятиям и приемам, и, как следствие, уровень логической строгости здесь снижается. Однако, не намного, а только до той планки, на которой некоторые понятия позволяется упоминать существенно раньше, чем они будут формально определены (например, понятие последовательности впервые упоминается на с.22, хотя определяется только на с.79), а некоторым утверждениям позволяется быть сформулированными задолго до того, как они будут аккуратно доказаны в тексте (таковы, например, формулы для простейших геометрических величин в главе 6 – площади правильной области на плоскости, объема тела вращения и т.п. – которые мы по традиции приводим раньше, чем эти величины формально будут определены, и как следствие, доказательство этих формул переносится на несколько глав вперед). При работе над текстом автор использовал многие идеи доказательств, а также некоторые задачи и упражнения из учебников и пособий, выходивших в разные годы в России.ОглавлениеФункции одного переменного.
Числа.
Элементарные функции.
Предел последовательности.
Непрерывность, предел и производная.
Интеграл.
Степенные ряды и аналитические функции.
Тригонометрические ряды.
Функции нескольких переменных
Линейная алгебра.
Евклидовы пространства.
Гладкая структура на евклидовом пространстве.
Мера Жордана и кратные интегралы.
Кривая, ее длина и интегралы по кривой.
Поверхность, ее площадь и интегралы по поверхности.
Теорема Стокса.
