Книга дает подробное изложение основ теории топологических векторных пространств, обзор важнейших результатов более тонкого характера, которые уже не относятся к основам, но знание которых полезно для приложений, и, наконец, некоторые из таких приложений, связанные с дифференциальным исчислением в бесконечномерных пространствах и теорией меры. Имеется много задач и упражнений с указаниями. Приведена обширная библиография. Книга рассчитана на студентов, аспирантов и научных работников физико- математических специальностей.
Author(s): Богачев В.И., Смолянов О.Г., Соболев В.И.
Publisher: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»
Year: 2012
Language: Russian
Pages: 586
Tags: Математика;Функциональный анализ;
Обозначения ......Page 7
Предисловие ......Page 8
1.1. Линейные пространства и топология ......Page 10
1.2. Основные определения ......Page 23
1.3. Примеры ......Page 32
1.4. Выпуклые множества ......Page 48
1.5. Конечномерные и нормируемые пространства ......Page 57
1.6. Метризуемость ......Page 65
1.7. Полнота и пополнение ......Page 70
1.8. Компактные и предкомпактные множества ......Page 82
1.9. Линейные операторы ......Page 90
1.10. Теорема Хана-Банаха: геометрическая форма ......Page 96
1.11. Теорема Хана-Банаха: аналитическая форма ......Page 108
Равномерные пространства ......Page 121
Выпуклые компакты ......Page 124
Теоремы о неподвижных точках ......Page 126
Пространства последовательностей ......Page 129
Сопряженные к банаховым пространствам ......Page 130
Свойства сепарабельности ......Page 132
Непрерывные селекции и продолжения ......Page 134
Задачи ......Page 135
2.1. Проективные топологии ......Page 142
2.2. Примеры проективных пределов ......Page 146
2.3. Индуктивные топологии ......Page 154
2.4. Примеры индуктивных пределов ......Page 159
2.5. Конструкция Гротендика ......Page 169
2.6. Строгие индуктивные пределы ......Page 176
2.7. Индуктивные пределы с компактными вложениями ......Page 179
2.8. Тензорные произведения ......Page 183
2.9. Ядерные пространства ......Page 185
Свойства пространств D и D' ......Page 192
Абсолютно суммирующие операторы ......Page 197
Локальная полнота ......Page 200
Задачи ......Page 202
3.1. Поляры ......Page 208
3.2. Топологии, согласующиеся с двойственностью ......Page 215
3.3. Сопряженные операторы ......Page 220
3.4. Слабая компактность ......Page 223
3.5. Бочечные пространства ......Page 231
3.6. Борнологические пространства ......Page 238
3.7. Сильная топология и рефлексивность ......Page 246
3.8. Критерии полноты ......Page 255
3.9. Теорема о замкнутом графике ......Page 264
3.10. Компактные операторы ......Page 273
3.11. Альтернатива Фредгольма ......Page 281
Бэровские пространства ......Page 286
Теорема о борелевском графике ......Page 289
Ограничивающие множества ......Page 290
Теорема Джеймса ......Page 291
Топологические свойства локально выпуклых пространств ......Page 293
Свойства Эберлейна-Шмульяна ......Page 297
Базисы Шаудера ......Page 298
Минимальные пространства и степени прямой ......Page 300
Задачи ......Page 304
Глава 4. Дифференциальное исчисление ......Page 324
4.1. Дифференцируемость по системе множеств ......Page 326
4.2. Примеры ......Page 335
4.3. Дифференцируемость и непрерывность ......Page 342
4.4. Дифференцируемость и непрерывность по подпространству ......Page 348
4.5. Производная композиции ......Page 351
4.6. Теорема о среднем ......Page 365
4.7. Формула Тейлора ......Page 367
4.8. Частные производные ......Page 372
4.9. Обращение формулы Тейлора и цепного правила ......Page 373
Теорема об обратной функции ......Page 387
Многочлены ......Page 388
Обыкновенные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах ......Page 391
Предельный переход под знаком производной ......Page 396
Полнота пространств гладких отображений ......Page 399
Дифференцируемость через псевдотопологии ......Page 406
Гладкие функции на банаховых пространствах ......Page 407
Задачи ......Page 408
5.1. Цилиндрические множества ......Page 412
5.2. Меры на топологических пространствах ......Page 415
5.3. Преобразования и сходимость мер ......Page 426
5.4. Цилиндрические меры ......Page 433
5.5. Преобразование Фурье ......Page 442
5.6. Ковариационные операторы и средние мер ......Page 447
5.7. Гауссовские меры ......Page 458
5.8. Квазимеры ......Page 469
5.9. Достаточные топологии ......Page 473
5.10. Топологии Сазонова и Гросса-Сазонова ......Page 476
5.11. Условия счетной аддитивности ......Page 484
Свертка ......Page 493
Законы 0-1 ......Page 497
Выпуклые меры ......Page 500
Центральная предельная теорема ......Page 503
Безгранично делимые и устойчивые меры ......Page 505
Банаховы носители мер ......Page 514
Бесконечномерные винеровские процессы ......Page 517
Прохоровские локально выпуклые пространства ......Page 518
Измеримые линейные и полилинейные функции ......Page 524
Связь различных σ-алгебр ......Page 533
Радонизующие операторы ......Page 535
Измеримые нормы ......Page 536
Задачи ......Page 537
Комментарии ......Page 544
Литература ......Page 552
Предметный указатель ......Page 578
