Численные методы решения обратных задач математической физики

Титульный лист......Page 1
Аннотация и выходные данные......Page 2
Оглавление......Page 3
Предисловие......Page 9
Основные обозначения......Page 11
1.1. Краевые задачи......Page 12
1.1.1. Стационарные задачи математической физики......Page 13
1.1.2. Нестационарные задачи математической физики......Page 14
1.2.1. Понятие корректности......Page 15
1.2.2. Краевая задача для параболического уравнения......Page 16
1.2.3. Краевая задача для эллиптического уравнения......Page 19
1.3.1. Пример некорректной задачи......Page 21
1.3.3. Условная корректность задачи с обратным временем......Page 23
1.4. Классификация обратных задач математической физики......Page 24
1.4.1. Прямые и обратные задачи......Page 25
1.4.2. Коэффициентные обратные задачи......Page 26
1.4.3. Граничные обратные задачи......Page 27
1.5. Задачи и упражнения......Page 28
2.1.1. Модельная дифференциальная задача......Page 31
2.1.2. Разностная схема......Page 33
2.1.3. Схемы метода конечных элементов......Page 36
2.1.4. Метод баланса......Page 37
2.2.1. Разностные тождества......Page 39
2.2.2. Свойства разностного оператора $A$......Page 41
2.2.3. Точность разностных схем......Page 43
2.3.1. Метод прогонки......Page 44
2.3.2. Корректность алгоритма прогонки......Page 45
2.3.3. Метод Гаусса......Page 46
2.4. Программная реализация и примеры расчетов......Page 47
2.4.1. Постановка задачи......Page 48
2.4.2. Разностные схемы......Page 49
2.4.3. Программа......Page 51
2.5. Задачи и упражнения......Page 57
3.1. Сеточная эллиптическая задача......Page 62
3.1.2. Сеточная задача......Page 63
3.1.3. Задачи в нерегулярных областях......Page 65
3.2.1. Сеточные эллиптические операторы......Page 67
3.2.2. Сходимость разностного решения......Page 69
3.2.3. Принцип максимума......Page 70
3.3.1. Прямые методы решения сеточных задач......Page 72
3.3.2. Итерационные методы......Page 74
3.3.3. Примеры двухслойных итерационных методов......Page 76
3.3.4. Итерационные методы вариационного типа......Page 78
3.3.5. Итерационные методы с диагональным переобуславливателем......Page 80
3.3.6. Попеременно-треугольные итерационные методы......Page 81
3.4.1. Постановка задачи и разностная схема......Page 84
3.4.2. Подпрограмма для решения сеточных уравнений......Page 85
3.4.3. Программа......Page 94
3.4.4. Результаты расчетов......Page 99
3.5. Задачи и упражнения......Page 102
4.1.1. Краевые задачи......Page 106
4.1.2. Аппроксимация по пространству......Page 108
4.1.3. Аппроксимация по времени......Page 109
4.2. Устойчивость двухслойных разностных схем......Page 111
4.2.1. Основные понятия......Page 112
4.2.2. Устойчивость по начальным данным......Page 114
4.2.3. Устойчивость по правой части......Page 117
4.3.1. Устойчивость по начальным данным......Page 119
4.3.2. Переход к двухслойной схеме......Page 121
4.3.3. $\rho$-устойчивость трехслойных схем......Page 123
4.3.4. Оценки в более простых нормах......Page 125
4.3.5. Устойчивость по правой части......Page 127
4.4.1. Условия устойчивости двухслойной схемы......Page 128
4.4.2. Сходимость разностных схем......Page 129
4.4.3. Устойчивость трехслойных схем с весами......Page 130
4.5.1. Постановка задачи......Page 132
4.5.2. Линеаризованные разностные схемы......Page 133
4.5.3. Программа......Page 136
4.5.4. Примеры расчетов......Page 139
4.6. Задачи и упражнения......Page 142
5.1.1. Постановка задачи......Page 145
5.1.2. Вариационный метод......Page 146
5.1.3. Сходимость метода регуляризации......Page 147
5.2.1. Уравнение Эйлера для сглаживающего функционала......Page 150
5.2.2. Классы априорных ограничений на решение......Page 151
5.2.3. Оценки скорости сходимости......Page 152
5.3.1. Выбор в классе априорных ограничений на решение......Page 153
5.3.2. Метод невязки......Page 155
5.4. Итерационные методы решения некорректных задач......Page 156
5.4.1. Особенности применения итерационных методов......Page 157
5.4.2. Итерационное решение некорректной задачи......Page 158
5.4.3. Оценки скорости сходимости......Page 160
5.4.4. Обобщения......Page 162
5.5.1. Задача продолжения потенциала......Page 163
5.5.2. Интегральное уравнение......Page 166
5.5.3. Вычислительная реализация......Page 167
5.5.4. Программа......Page 168
5.5.5. Результаты расчетов......Page 172
5.6. Задачи и упражнения......Page 175
6.1. Восстановление правой части стационарных задач по известному решению......Page 178
6.1.1. Постановка задачи......Page 179
6.1.2. Разностные алгоритмы......Page 180
6.1.3. Регуляризация по А. Н.Тихонову......Page 183
6.1.4. Другие алгоритмы......Page 185
6.1.5. Вычислительная и программная реализация......Page 186
6.1.6. Примеры расчетов......Page 194
6.2.1. Модельная задача......Page 196
6.2.2. Глобальная регуляризация......Page 199
6.2.3. Локальная регуляризация......Page 201
6.2.4. Итерационное решение задачи идентификации......Page 203
6.2.5. Результаты расчетов......Page 213
6.3.1. Обратная задача......Page 216
6.3.2. Краевая задача для нагруженного уравнения......Page 217
6.3.3. Разностная схема......Page 218
6.3.4. Сеточная нелокальная задача и программная реализация......Page 219
6.3.5. Примеры расчетов......Page 224
6.4.1. Постановка задачи......Page 226
6.4.2. Оценка устойчивости......Page 227
6.4.3. Разностная задача......Page 230
6.4.4. Решение сеточной задачи......Page 232
6.4.5. Результаты расчетов......Page 241
6.5. Восстановление правой части эллиптического уравнения по данным граничных наблюдений......Page 242
6.5.1. Постановка обратной задачи......Page 243
6.5.2. Единственность решения обратной задачи......Page 245
6.5.3. Разностная задача......Page 246
6.5.4. Решение сеточной задачи......Page 250
6.5.5. Программа......Page 253
6.5.6. Результаты расчетов......Page 261
6.6. Задачи и упражнения......Page 262
7.1. Нелокальное возмущение начальных условий......Page 267
7.1.1. Постановка задачи......Page 268
7.1.2. Общие методы решения некорректных эволюционных задач......Page 269
7.1.3. Возмущение начальных условий......Page 271
7.1.4. Сходимость приближенного решения к точному......Page 273
7.1.5. Эквивалентность нелокальной задачи и задачи оптимального управления......Page 277
7.1.6. Разностные нелокальные задачи......Page 280
7.1.7. Программная реализация......Page 284
7.1.8. Результаты расчетов......Page 288
7.2. Регуляризованные разностные схемы......Page 289
7.2.1. Принцип регуляризации разностных схем......Page 290
7.2.2. Задача с обратным временем......Page 296
7.2.3. Метод квазиобращения......Page 298
7.2.4. Регуляризованные аддитивные схемы......Page 307
7.2.5. Программа......Page 311
7.2.6. Примеры расчетов......Page 318
7.3.1. Постановка задачи......Page 321
7.3.2. Разностная задача......Page 322
7.3.3. Итерационное уточнение начального условия......Page 323
7.3.4. Программа......Page 326
7.3.5. Результаты расчетов......Page 333
7.4.1. Модельная задача......Page 335
7.4.2. Эквивалентное уравнение первого порядка......Page 338
7.4.3. Возмущение начальных условий......Page 340
7.4.4. Возмущение уравнения......Page 343
7.4.5. Регуляризованные разностные схемы......Page 346
7.4.6. Программа......Page 350
7.4.7. Примеры расчетов......Page 356
7.5.1. Постановка задачи......Page 357
7.5.2. Вариационная задача......Page 360
7.5.3. Сеточная задача......Page 362
7.5.4. Численное решение сеточной задачи......Page 364
7.5.5. Программа......Page 366
7.5.6. Примеры расчетов......Page 374
7.6. Задачи и упражнения......Page 377
8.1. Продолжение по пространственной переменной в граничной обратной задаче......Page 379
8.1.1. Постановка задачи......Page 380
8.1.2. Метод квазиобращения......Page 381
8.1.3. Разностные схемы метода квазиобращения......Page 384
8.1.4. Программа......Page 388
8.1.5. Примеры расчетов......Page 394
8.2.1. Модельная задача......Page 397
8.2.3. Локальная регуляризация......Page 398
8.2.4. Разностная нелокальная задача......Page 401
8.2.5. Программа......Page 402
8.2.6. Примеры расчетов......Page 408
8.3. Идентификация граничного режима в двумерной задаче......Page 410
8.3.1. Постановка задачи......Page 411
8.3.2. Итерационный метод......Page 412
8.3.3. Сеточная задача......Page 415
8.3.4. Итерационное уточнение граничного условия......Page 417
8 3.5. Программная реализация......Page 420
8.3.6. Примеры расчетов......Page 428
8.4.1. Постановка задачи......Page 429
8.4.2. Функциональная оптимизация......Page 435
8.4.3. Параметрическая оптимизация......Page 438
8.4.4. Сеточная задача......Page 442
8.4.5. Программа......Page 444
8.4.6. Примеры расчетов......Page 451
8.5.1. Постановка задачи......Page 454
8.5.2. О единственности решения обратной задачи......Page 455
8.5.3. Сеточная обратная задача......Page 457
8.5.4. Итерационное решение обратной задачи......Page 459
8.5.5. Программа......Page 461
8.5.6. Результаты расчетов......Page 468
8.6. Задачи и упражнения......Page 471
Литература......Page 475
Предметный указатель......Page 477