2004, № 1 (1) Научный журнал
всего естествознания. Оно, быть может, первичней таких глобальных категорий, как
время, пространство, вещество или поле. Поэтому, выпуская в свет первый номер
журнала "Гиперкомплексные числа в геометрии и физике", редакционная коллегия
искренне надеется, что на страницах данного издания найдут свое место работы,
посвященные не просто числу вообще, но, прежде всего, раскрывающие его органи-
ческую связь с реальным миром.
Понятие числа многогранно и в самом широком смысле включает не только
обычные числа, но и обобщенные объекты, наподобие кватернионов, октав, матриц
и многих других. Не отрицая важной роли чисел всех видов, организаторы журнала
выделяют среди них цепочку классов: натуральные → целые → рациональные → действительные → комплексные. Своей главной задачей журнал ставит обоснование
возможности расширения приведенной классификации на числа б´ольших размерно-
стей, в первую очередь, обладающих коммутативно-ассоциативным умножением.
На первый взгляд, подобная программа представляется бесперспективной, по-
скольку теорема Фробениуса утверждает, что многокомпонентные числовые струк-
туры с обычными арифметическими свойствами заканчиваются на комплексных чис-
лах. При этом особый акцент делается на отсутствии в соответствующих алгебрах
так называемых делителей нуля. Конечно, отталкиваясь только от действительных
и комплексных чисел, как неких эталонов, делители нуля представляются лишними.
Однако, с точки зрения физики и тесным образом переплетенной с ней псевдоевкли-
довой геометрии, делители нуля оказываются одними из самых естественных объек-
тов, поскольку именно с ними связаны мировые линии световых лучей. Факт, что
псевдоевклидовой плоскости соответствует алгебра коммутативно-ассоциативных
двойных чисел, имеющих в своем составе делители нуля, – лучшее тому подтвержде-
ние. Звучащие иногда высказывания, будто двойные числа слишком примитивны и
не составляют реальной конкуренции комплексным, представляются несостоятель-
ными, поскольку на языке геометрии это означает, что евклидовы пространства важ-
нее псевдоевклидовых. Геометры давно пришли к выводу, что оба типа пространств
равноценны, поэтому и двойные числа в основной классификации числовых структур
должны стоять рядом с комплексными. Но, допуская мысль о фундаментальности
двойных чисел, не остается оснований игнорировать делители нуля, а значит, ока-
зывается вполне возможным, не вступая в противоречие с теоремой Фробениуса,
строить числовые системы самых разных размерностей.
Замечательным примером подобных структур являются комплексные кватерни-
оны (бикватернионы). Исследованию этих ассоциативных, но не коммутативных по
умножению, гиперкомплексных чисел посвящен ряд интересных работ, представлены
они и в первом номере настоящего журнала. Ожидание успехов данного направления
основано на факте, что группа Пуанкаре, играющая исключительную роль в совре-
менной физике, является подгруппой полной группы симметрий восьмимерного про-
странства бикватернионов. С другой стороны, признание за делителями нуля права
на звание обычных чисел, приводит к возможности построения и гиперкомплексных
систем, наделенных коммутативно-ассоциативным произведением, что имеет свои
дополнительные преимущества. Подчеркивая особый статус подобных структур, их
предлагается рассматривать под общим именем поличисел.
До последнего времени исследованию поличисел не уделяли особого внимания,
поскольку их считали тривиальными. Отчасти это действительно так, однако, если
отталкиваться не от алгебр, а от связанных с ними геометрий, разнообразие свойств
сразу же значительно возрастает. Дело в том, что пространства, стоящие за поличис-
лами, как правило, являются финслеровыми, а в них можно ожидать, что помимо
специальных линейных преобразований своим особым положением будут выделяться
и некоторые нелинейные отображения.
Как бы ни сложилось с обобщением понятия числа, существование финслеро-
вых геометрий является бесспорным фактом, а, значит, и проблемы физики мож-
но рассматривать в совершенно другой плоскости. Действительно, почему бы вме-
сто поиска гиперкомплексных систем, соответствующих классическому пространству
Минковского или его модификациям, не попытаться заменить сам геометрический
фундамент физики в надежде, что он ближе к неквадратичным структурам? Если
идея столь тесной связи математики и физики верна, можно предположить, что но-
вая геометрия должна быть непосредственно соотносима с максимально простыми
числовыми системами. Здесь-то и могут сыграть свою роль поличисла, которые, с
одной стороны, элементарны, а с другой – являются объектами далеко не тривиаль-
ных геометрий. Даже если в отношении поличисел данные ожидания не оправдают-
ся, существуют и другие гиперкомплексные числа, а учитывая фундаментальность
поставленной задачи, заранее трудно предугадать, какой из путей окажется плодо-
творным.
