Calcul infinitesimal (Collection Methodes)

Préface......Page 13
Notations......Page 19
1. Ensembles et fonctions......Page 23
2. Nombres réels et nombres complexes......Page 24
3. Fonctions continues d'une variable réelle......Page 25
4. Extensions des notions de dérivée et de primitive......Page 27
5. Topologie du plan......Page 31
1. Opérations élémentaires......Page 35
2. Séries et limites......Page 38
3. Le théorème de la moyenne......Page 41
4. L'inégalité de Cauchy-Schwarz......Page 44
Problèmes......Page 46
1. Position du problème......Page 53
2. Méthode de la fausse position (ou régula falsi)......Page 55
3. Résolution de x = g(x) par itération......Page 56
4. La méthode de Newton......Page 58
Appendice : Séparation des racines d'un polynôme......Page 61
Problèmes......Page 65
1. Introduction......Page 71
2. Fonctions de comparaison......Page 72
3. Relations de comparaison......Page 73
4. Calcul sur les relations de comparaison......Page 75
5. Relation d'ordre dans 8......Page 76
6. Développements asymptotiques......Page 78
7. Calcul des développements asymptotiques......Page 82
8. Développements asymptotiques des fonctions implicites......Page 85
9. Convergence des intégrales impropres......Page 89
10. Développement asymptotique d'une primitive......Page 93
11. Convergence des séries et développements asymptotiques des sommes partielles......Page 99
Appendice : Polygone de Newton et développements de Puiseux......Page 106
Problèmes......Page 112
2. La méthode de Laplace......Page 121
3. Intégrales eulériennes......Page 125
4. Méthode de la phase stationnaire......Page 131
Problèmes......Page 136
1. Écart de deux fonctions......Page 143
2. Convergence uniforme et convergence simple......Page 144
3. Propriétés des suites uniformément convergentes......Page 147
4. Régularisation......Page 151
5. Le théorème d'approximation de Weierstrass......Page 157
Appendice : Polynômes de Bernstein......Page 159
Problèmes......Page 160
1. La série de Taylor......Page 165
2. Séries entières......Page 166
3. Le principe des zéros isolés......Page 168
4. Substitution d'une série entière dans une série entière......Page 169
5. Fonctions analytiques......Page 173
6. Dérivées et primitives d'une fonction analytique......Page 176
7. Le principe du prolongement analytique......Page 179
8. Exemples de fonctions analytiques......Page 182
9. Le principe du maximum......Page 188
Problèmes......Page 192
1. Chemins et lacets......Page 197
2. Intégration le long d'un chemin......Page 200
3. Le problème des primitives des fonctions analytiques......Page 201
4. Homotopies de chemins et homotopies de lacets. Domaines simplement connexes......Page 203
5. Le théorème de Cauchy......Page 205
6. Indice d'un point par rapport à un lacet......Page 207
7. La formule de Cauchy......Page 211
8. Inégalités de Cauchy; théorème de Liouville......Page 215
9. Conditions de Cauchy......Page 216
10. Le théorème de convergence de Weierstrass......Page 220
Problèmes......Page 224
1. Prolongement analytique et singularités......Page 229
2. Points singuliers isolés : la série de Laurent......Page 232
3. Étude d'une fonction analytique au voisinage d'un point singulier isolé......Page 235
4. Le théorème des résidus......Page 238
5. Application du théorème des résidus à des calculs d'intégrales......Page 241
6. Applications du théorème des résidus à la résolution des équations......Page 244
7. Inversion des fonctions analytiques : I. Le problème local......Page 249
8. Inversion des fonctions analytiques : II. Le problème global......Page 251
9. La fonction logarithme......Page 255
10. Application à des calculs d'intégrales......Page 262
11. Application aux produits infinis......Page 266
Problèmes......Page 269
1. La méthode du col......Page 279
2. Exemples d'application de la méthode du col......Page 285
3. Développements eulériens......Page 289
4. La fonction gamma dans le domaine complexe......Page 292
5. Nombres et polynômes de Bernoulli......Page 297
6. Développements trigonométriques des polynômes de Bernoulli......Page 299
7. Formule d'Euler-Maclaurin......Page 302
8. Série de Fourier et approximation par des polynômes trigonométriques......Page 307
9. Approximation en moyenne quadratique et séries de Fourier......Page 312
10. Coefficients de Fourier et propriétés de régularité......Page 315
Appendice : Le phénomène de Runge......Page 319
Problèmes......Page 321
1. Caractérisation des applications conformes......Page 333
2. Les problèmes de la représentation conforme......Page 335
3. La transformation homographique......Page 337
4. Exemples de représentations conformes......Page 339
5. La transformation de Schwarz-Christoffel......Page 342
6. Le principe de symétrie......Page 344
7. Représentation conforme et fonctions elliptiques......Page 345
Problèmes......Page 350
1. Solutions et solutions approchées......Page 359
2. Comparaison des solutions approchées......Page 360
3. La méthode de Cauchy-Lipschitz......Page 363
4. Extension aux systèmes différentiels et aux équations différentielles d'ordre supérieur......Page 367
5. Équations différentielles dans le domaine complexe......Page 372
6. Dépendance de la solution par rapport aux conditions initiales et aux paramètres......Page 376
Problèmes......Page 378
1. Domaine d'existence d'une solution d'une équation différentielle linéaire......Page 381
2. Matrice résolvante d'un système d'équations différentielles linéaires dans le domaine réel......Page 383
3. Équations différentielles linéaires à coefficients constants......Page 388
4. Systèmes différentiels linéaires à coefficients périodiques......Page 390
5. Équations différentielles linéaires dans le domaine complexe......Page 391
Problèmes......Page 394
1. Stabilité d'une solution d'une équation différentielle......Page 397
3. Stabilité conditionnelle......Page 401
4. Points critiques des systèmes autonomes à deux variables......Page 408
Problèmes......Page 414
1. Principaux problèmes......Page 419
2. Généralités......Page 420
3. La transformation de Liouville......Page 421
4. Développements asymptotiques des solutions......Page 423
5. Extension au domaine complexe......Page 428
6. Équations du second ordre dépendant d'un paramètre......Page 431
7. Théorèmes d'oscillation et de comparaison......Page 434
8. Conditions aux limites......Page 437
9. Équations linéaires du second ordre à coefficients périodiques......Page 441
Problèmes......Page 447
1. Intégration des équations différentielles linéaires par des intégrales dépendant d'un paramètre......Page 453
2. Les fonctions de Hankel......Page 454
3. Prolongements analytiques et développements asymptotiques des fonctions de Hankel......Page 456
4. Fonctions de Bessel et fonctions de Neumann......Page 459
5. Fonctions de Bessel d'indice entier......Page 462
Problèmes......Page 463
Index......Page 467
Bibliographie......Page 472
Principales formules......Page 474