Die Autoren beschreiben die Entstehung, Entwicklung und Wandlung der Algebra als Teil unserer Kulturgeschichte. Ursprünge, Anstöße und die Entwicklung algebraischer Begriffe und Methoden werden in enger Verflechtung mit historischen Ereignissen und menschlichen Schicksalen dargestellt. Ein erster Spannungsbogen reicht von den Frühformen des Rechnens mit natürlichen Zahlen und Brüchen zur Lösung einfacher Gleichungen bis hin zur Lösung von Gleichungen dritten und vierten Grades in der Renaissance. Von den misslungenen Versuchen zur Lösung allgemeiner Gleichungen höheren Grades im 17 Jh. zieht sich ein weiterer Bogen zu den genialen Ideen des jungen Galois und den berühmten Beweisen des Fundamentalsatzes der Algebra durch C.F. Gauß. Die Wandlung der Algebra von der Gleichungslehre zur Theorie algebraischer Strukturen wird danach ebenso beschrieben, wie die völlig neuen Akzente, die die Computeralgebra in neuester Zeit gesetzt hat.
Author(s): Heinz Wilhelm Alten, A. Djafari Naini, Menso Folkerts, Hartmut Schlosser, Karl-Heinz Schlote, Hans Wu?ing
Series: Vom Zählstein zum Computer
Edition: 1. Aufl. 2003. 2., korr. Nachdruck
Publisher: Springer
Year: 2008
Language: German
Pages: 670
Cover......Page 1
Vom Zählstein zum Computer......Page 2
4000 Jahre Algebra......Page 3
ISBN 9783540435549......Page 4
Vorwort des Herausgebers......Page 6
Inhaltsverzeichnis......Page 10
1 Anfänge von Arithmetik und Algebra......Page 17
1.1 Zählen, Zahlen und Rechnen am Beginn......Page 18
1.2 Arithmetik und Algebra im alten Ägypten......Page 22
1.3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra......Page 36
1.4 Aufgaben zu Kapitel 1......Page 59
2 Die geometrische Algebra der Griechen......Page 61
2.0 Einführung......Page 64
2.1 Beginn des abstrakten Denkens......Page 65
2.2 Das besondere Merkmal der griechischen Algebra......Page 75
2.3 Lineare und quadratische Gleichungen......Page 78
2.4 Kubische und biquadratische Gleichungen......Page 90
2.5 Die Quadratur des Kreises mittels der Quadratrix......Page 106
2.6 ”Formale Algebra“......Page 110
2.7 Aufgaben zu Kapitel 2......Page 119
3 Algebra im Orient......Page 121
3.1 Algebra in China......Page 122
3.2 Algebra in Indien......Page 144
3.3 Algebra in den Ländern des Islam......Page 162
3.4 Aufgaben zu Kapitel 3......Page 209
4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance......Page 213
4.0 Einführung......Page 215
4.1 Übersetzungen aus dem Arabischen......Page 220
4.2 Leonardo von Pisa......Page 222
4.3 Jordanus Nemorarius und Johannes de Muris......Page 226
4.4 Die Entwicklung in Italien......Page 230
4.5 Entwicklungen in Westeuropa......Page 236
4.6 Frühe Algebra im deutschsprachigen Raum – die sog. Deutsche Coß......Page 243
4.7 Zur Entwicklung des Zahlbegriffes......Page 258
4.8 Aufgaben......Page 262
5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16.-17. Jh.)......Page 265
5.0 Vorbemerkungen......Page 267
5.1 Gleichungen dritten und vierten Grades......Page 269
5.2 Viète und Descartes......Page 282
5.3 Newton und Euler......Page 297
5.4 Aufgaben......Page 310
6 Algebra in der zweiten Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts......Page 313
6.0 Historische Einführung......Page 315
6.1 Die Begründung des Rechnens in den gewöhnlichen Zahlbereichen......Page 318
6.2 Die Begründung der komplexen Zahlen......Page 322
6.3 Algebra als Methode......Page 327
6.4 Das Problem der Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung n-ten Grades in Radikalen......Page 333
6.5 Zum Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra
durch Carl Friedrich Gauß......Page 347
6.6 Die Herausforderung der Algebra durch neue
Objektbereiche......Page 351
6.7 Aufgaben zu Kapitel 6......Page 361
7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts......Page 363
7.0 Vorbemerkungen......Page 365
7.1 Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen –
Galois-Theorie......Page 366
7.2 Von Permutationen zu Permutationsgruppen......Page 378
7.3 Auf dem Weg zur abstrakten Algebra – die
englische algebraische Schule......Page 382
7.4 Erste Definitionen abstrakter algebraischer Systeme......Page 394
7.5 Zahlentheoretische Einflüsse auf die Entwicklung der Algebra......Page 407
7.6 Die Fortschritte in der linearen Algebra......Page 416
7.7 Aufgaben zu Kapitel 7......Page 440
8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880......Page 445
8.0 Vorbemerkungen......Page 447
8.1 Weitere Fortschritte im Verständnis der Galois-Theorie......Page 450
8.2 Die große Zeit der Invariantentheorie......Page 463
8.3 Die Theorie der Transformationsgruppen......Page 470
8.4 Die ersten Strukturuntersuchungen bei hyperkomplexen Systemen......Page 481
8.5 Aufgaben zu Kapitel 8......Page 490
9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert – erste Schritte zur abstrakten Algebra......Page 491
9.0 Vorbemerkungen......Page 493
9.1 Mengenlehre und Algebra der Logik......Page 494
9.2 Die Herausbildung des abstrakten Gruppenbegriffs......Page 505
9.3 Dedekind und Kronecker: Algebraische Zahlen, Divisoren, Körper......Page 520
9.4 Die axiomatische Fixierung des Körperbegriffs......Page 531
9.5 Die Profilierung weiterer Teilgebiete der Algebra......Page 543
9.6 Aufgaben zu Kapitel 9......Page 563
10 Die Algebra im 20. Jahrhundert......Page 567
10.0 Vorbemerkungen......Page 569
10.1 Die Etablierung der modernen abstrakten Algebra......Page 573
10.2 Von der Algebra zur Mathematik der Strukturen......Page 585
10.3 Die Wechselwirkung der abstrakten Algebra......Page 598
10.4 Computeralgebra......Page 609
10.5 Aufgaben zu Kapitel 10......Page 628
Literaturverzeichnis......Page 629
Personenregister mit Lebensdaten......Page 650
Index......Page 660
