Учебно-методическое пособие. — Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2008. — 64 с.В настоящем учебно-методическом пособии рассматривается один из наиболее эффективных, но недостаточно освещенных в учебной литературе методов построения приближенных аналитических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями, который основан на теореме Пуанкаре-Дюлака. Изложение основных идей метода и его алгоритма сопровождается большим числом задач из различных областей физики. Рассмотрено применение метода Пуанкаре-Дюлака для упрощения динамических уравнений бушей мод в теории нелинейных систем с дискретной симметрией (соответствующие разделы пособия написаны по материалам оригинальных работ ряда со- трудников физического департамента ЮФУ). Приведен алгоритм нормализации систем дифференциальных уравнений, использующий аппарат групп Ли, который наиболее удобен для реализации метода Пуанкаре-Дюлака в виде компьютерной программы.
Данное пособие предназначено для студентов бакалавриата и магистратуры физического факультета ЮФУ, которые ведут научно-исследовательскую работу в области нелинейной динамики, выполняя курсовые работы, дипломные работы и магистерские диссертации. Оно может быть также использовано при чтении курса «Нелинейная динамика» для магистров физического факультета ЮФУ.Введение.
Понятие о бушах колебательных мод.
Нормальные моды.
Динамические уравнения в модальном пространстве.
Буши колебательных мод.
Вопросы для самоконтроля.
Нормализация системы дифференциальных уравнений на основе теоремы Пуанкаре-Дюлака.
Вопросы для самоконтроля.
Нормальные формы систем дифференциальных уравнений, описывающих динамику буша.
Случай рационально несоизмеримых частот.
Случай рационально соизмеримых частот.
Вопросы для самоконтроля.
Нормальные формы гамильтонианов многомерных бушей.
Нормальная форма гамильтониана.
Критерий каноничности преобразования переменных.
Преобразование квадратичной части гамильтониана.
Доказательство основной теоремы о нормальной форме гамильтониана.
Нормальная форма гамильтониана в случае рационально несоизмеримых частот.
Вопросы для самоконтроля.
Использование аппарата групп Ли для упрощения алгоритма нормализации системы дифференциальных уравнений.
Вопросы для самоконтроля.
Глоссарий.
Литература.
