Cодержание данного учебного пособия является расширенным вариантом алгебраической части
общеобразовательного курса «Алгебра и геометрия», который автор в течение ряда лет читает студентам
факультета прикладной математики и механики в соответствии с действующим государственным образовательным
стандартом.
Учебное пособие предназначено не только студентам, обучающимся по названным направлениям, но в целом
студентам математических специальностей классических и педагогических университетов, оно окажется полезным
и преподавателям (в том числе «соседних» дисциплин).
Author(s): Баскаков А.Г.
Edition: 3
Publisher: Издательско-полиграфический центр ВГУ
Year: 2013
Language: Russian
Pages: 159
City: Воронеж
ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Глава 1. Элементы теории множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§ 4.
Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Отношения эквивалентности. Фактор-множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Отображения множеств и классификация отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Сравнение множеств. Мощность множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§ 5. Алгебраические операции. Группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 6. Группы перестановок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 7. Кольца, тела, алгебры, поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 8. Поле комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 9. Алгебра многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 10. Основная теорема высшей алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 11. Разложение многочлена на множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 12. Приближенное вычисление корней многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
23
29
31
35
38
40
44
Глава 3. Линейная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
§ 13. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
§ 14. Линейные пространства. Базисы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§ 15. Линейные подпространства. Прямые суммы подпространств, произведение пространств,
фактор-пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
§ 16. Линейные нормированные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
§ 17. Пространства со скалярным произведением. Евклидовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
§ 18. Пространство линейных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
§ 19. Ядро и образ линейного оператора. Изоморфизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
§ 20. Линейные операторы и матрицы линейных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§ 21. Полилинейные операторы и формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
§ 22. Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
§ 23. Метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
§ 24. Определители и линейная независимость векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
§ 25. Матрица Грама и ее применение (линейная независимость векторов, метод наименьших
квадратов) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
§ 26. Собственные значения и собственные векторы. Операторы простой структуры . . . . . . . . . . . 101
§ 27. Проекторы и прямые суммы подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
§ 28. Инвариантные подпространства. Разложение операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
§ 29. Многочлены от операторов и матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
§ 30. Фактор-операторы. Теорема Гамильтона-Кэли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
§ 31. Многочлены от операторов и разложение операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
§ 32. Нильпотентные операторы. Жорданов базис для нильпотентных операторов . . . . . . . . . . . . . 121
§ 33. Жорданов базис и жорданова форма линейных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
§ 34. Ряды в линейном нормированном пространстве. Функции от операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
§ 35. Сопряженные операторы. Структурная теория нормальных,самосопряженных и
унитарных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
§ 36. Структурная теория самосопряженных и унитарных операторов в вещественных
евклидовых пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
§ 37. Спектральный радиус и норма операторов. Положительно определенные
операторы и матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
§ 38. Билинейные и квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
§ 39. Ошибки в решениях линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
§ 40. Рекуррентные соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
§ 41. Неотрицательные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
