Das Lehrbuch deckt die wichtigsten Themen ab, mit denen sich Ingenieure und Physiker nach den Einführungsvorlesungen aus der Analysis und der linearen Algebra beschäftigen. Der Schwerpunkt der Darstellung liegt auf den für Ingenieure und Physiker wichtigen numerischen Verfahren. Diese numerischen Verfahren sind auch für Mathematiker, die sich für Anwendungen interessieren, von elementarer Bedeutung. Der Autor veranschaulicht anhand einer Vielzahl von Beispielen und in einer leicht verständlichen Sprache die Inhalte. Ausgehend von den Grundlagen nähert er sich schrittweise komplexen Themen und skizziert Beweise, sofern sie für das Verständnis hilfreich sind. Das Buch ist damit hervorragend zur Prüfungsvorbereitung geeignet!
Author(s): Norbert Herrmann
Edition: 2., überarbeitete Auflage.
Publisher: Oldenbourg Wissensch.Vlg
Year: 2007
Language: German
Pages: 532
Vorwort......Page 6
Inhaltsverzeichnis......Page 8
Das Rückwärtseinparken......Page 14
Die Formeln von Rebecca Hoyle......Page 15
Kritik an Rebeccas Formeln......Page 16
Neue Formeln zum Parallelparken......Page 18
Die Formeln f¨ur ein 45o–Manöover......Page 19
Zusammenfassung......Page 20
Werte für einige Autos......Page 21
1.1 Einleitung......Page 22
1.2 Zur Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme......Page 23
1.3.1 Symmetrische und Hermitesche Matrizen......Page 24
1.3.2 Positiv de.nite Matrizen......Page 25
1.3.3 Orthogonale Matrizen......Page 29
1.3.4 Permutationsmatrizen......Page 30
1.3.5 Frobeniusmatrizen......Page 32
1.3.6 Diagonaldominante Matrizen......Page 34
1.3.7 Zerfallende Matrizen......Page 36
1.4.1 Vektornorm......Page 38
1.4.2 Matrixnorm......Page 43
1.5.1 Kondition......Page 46
1.5.2 Vorwärtsanalyse und Fehlerabschätzungen......Page 49
1.5.3 Rückwärtsanalyse: Satz von Prager und Oettli......Page 51
1.6.1 Die Grundaufgabe......Page 57
1.6.2 Pivotisierung......Page 61
1.6.3 L–R–Zerlegung und lineare Gleichungssysteme......Page 66
1.6.4 L–R–Zerlegung und inverse Matrix......Page 68
1.7 Q–R–Zerlegung......Page 70
1.7.1 Der Algorithmus......Page 72
1.7.2 Q–R–Zerlegung und lineare Gleichungssysteme......Page 75
1.8 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme......Page 76
1.8.1 Die kleinste Fehlerquadratsumme......Page 77
1.8.2 Q–R–Zerlegung und überbestimmte lineare Gleichungssysteme......Page 82
1.9.1 Cholesky–Verfahren......Page 86
1.9.2 Cholesky–Zerlegung und lineare Gleichungssysteme......Page 90
1.9.3 Einige Zusatzbemerkungen......Page 91
1.9.4 Verfahren der konjugierten Gradienten......Page 92
1.10.1 Gesamt– und Einzelschrittverfahren......Page 96
1.10.2 SOR–Verfahren......Page 103
2.1 Einleitung und Motivation......Page 106
2.2.1 Die allgemeine Eigenwert–Eigenvektoraufgabe......Page 107
2.2.2 Ähnlichkeit von Matrizen......Page 110
2.3 Abschätzung nach Gerschgorin......Page 112
2.4 Das vollständige Eigenwertproblem......Page 116
2.4.2 Verfahren von Wilkinson......Page 117
2.4.3 Verfahren von Householder......Page 120
2.4.4 Das Verfahren von Hyman......Page 128
2.4.5 Shift......Page 130
2.4.6 Q–R–Verfahren......Page 132
2.4.7 Verfahren von Jacobi......Page 141
2.5 Das partielle Eigenwertproblem......Page 146
2.5.1 Von Mises–Verfahren......Page 147
2.5.2 Rayleigh–Quotient für symmetrische Matrizen......Page 150
2.5.3 Inverse Iteration nach Wielandt......Page 153
3.1 Einführung......Page 158
3.2 Die Standardform......Page 159
3.3 Graphische Lösung im 2D – Fall......Page 161
3.4 Lösbarkeit des linearen Optimierungsproblems......Page 165
3.5 Der Simplex–Algorithmus......Page 170
3.5.1 Der Algorithmus am Beispiel der Transportaufgabe......Page 172
3.5.2 Sonderfälle......Page 175
4.1.1 Aufgabenstellung......Page 182
4.1.2 Lagrange–Interpolation......Page 185
4.1.3 Newton–Interpolation......Page 188
4.1.4 Auswertung von Interpolationspolynomen......Page 191
4.1.5 Der punktweise Fehler......Page 193
4.1.6 Hermite–Interpolation......Page 195
4.2.1 Ärger mit der Polynom–Interpolation......Page 198
4.2.2 Lineare Spline–Funktionen......Page 200
4.2.3 Hermite–Spline–Funktionen......Page 206
4.2.4 Kubische Spline–Funktionen......Page 214
5.1.1 Begriff der Quadraturformel......Page 226
5.1.2 Der Exaktheitsgrad von Quadraturformeln......Page 227
5.1.3 Einige klassische Formeln......Page 228
5.2 Interpolatorische Quadraturformeln......Page 229
5.2.1 Newton–Cotes–Formeln......Page 230
5.2.3 Mehrfachanwendungen......Page 232
5.3 Quadratur nach Romberg......Page 237
5.4.1 Normierung des Integrationsintervalls......Page 239
5.4.2 Konstruktion einer Gaußformel......Page 240
5.4.3 Legendre–Polynome......Page 241
5.4.5 Bestimmung der Gewichte......Page 242
5.5 Vergleichendes Beispiel......Page 243
5.6 Stützstellen und Gewichte nach Gauß......Page 249
6.1 Motivation......Page 254
6.2 Fixpunktverfahren......Page 255
6.3 Newton–Verfahren......Page 261
6.4 Sekanten–Verfahren......Page 265
6.5 Verfahren von Bairstow......Page 266
6.6.1 Motivation......Page 269
6.6.2 Fixpunktverfahren......Page 270
6.6.3 Newton–Verfahren für Systeme......Page 273
6.6.4 Vereinfachtes Newton–Verfahren für Systeme......Page 274
6.6.5 Modifiziertes Newton–Verfahren für Systeme......Page 275
7 Laplace–Transformation......Page 280
7.1 Einführung......Page 281
7.2 Existenz der Laplace–Transformierten......Page 282
7.3 Rechenregeln......Page 284
7.4 Die inverse Laplace–Transformation......Page 291
7.4.1 Partialbruchzerlegung......Page 292
7.4.2 Faltung......Page 293
7.5 Zusammenfassung......Page 295
7.6 Anwendung auf Differentialgleichungen......Page 296
7.7 Einige Laplace–Transformierte......Page 298
8 Fourierreihen......Page 302
8.1 Erklärung der Fourierreihe......Page 303
8.2 Berechnung der Fourierkoeffizienten......Page 304
8.3 Reele F-Reihe- komplexe F-Reihe......Page 306
8.4 Einige Sätze über Fourier – Reihen......Page 308
8.5 Sprungstellenverfahren......Page 309
8.6 Zum Gibbsschen Phänomen......Page 311
8.7 Schnelle Fourieranalyse (FFT)......Page 313
9.1 Einleitung und Motivation......Page 320
9.2 Testfunktionen......Page 321
9.3 Reguläre Distributionen......Page 323
9.4 Singuläre Distributionen......Page 325
9.5 Limes bei Distributionen......Page 327
9.6 Rechenregeln......Page 328
9.7 Ableitung von Distributionen......Page 331
9.8 Faltung von Testfunktionen......Page 334
9.9 Faltung bei Distributionen......Page 335
9.10 Anwendung auf Differentialgleichungen......Page 337
10.2 Warum ein Auto bei Glätte schleudert......Page 342
10.2.1 Explizite Differentialgleichungen n-ter Ordnung......Page 348
10.2.2 Umwandlung Differentialgleichung n–ter Ordnung in System 1. Ordnung......Page 349
10.3 Aufgabenstellung......Page 351
10.4 Zur Existenz und Einzigkeit einer Lösung......Page 352
10.5 Numerische Einschritt–Verfahren......Page 360
10.5.1 Euler–Polygonzug–Verfahren......Page 361
10.5.2 Verbessertes Euler–Verfahren......Page 363
10.5.3 Implizites Euler–Verfahren......Page 364
10.5.4 Trapez–Verfahren......Page 366
10.5.5 Runge–Kutta–Verfahren......Page 367
10.5.6 Die allgemeinen Runge–Kutta–Verfahren......Page 368
10.6.1 Konsistenz......Page 370
10.6.2 Stabilität......Page 378
10.6.3 Konvergenz......Page 391
10.7.1 Herleitung von Mehrschritt–Verfahren......Page 395
10.8.1 Konsistenz......Page 397
10.8.2 Stabilität......Page 402
10.9 Prädiktor – Korrektor – Verfahren......Page 404
11.1 Aufgabenstellung......Page 408
11.1.1 Homogenisierung der Randbedingungen......Page 409
11.2 Zur Existenz und Einzigkeit einer Lösung......Page 411
11.3 Kollokationsverfahren......Page 413
11.4 Finite Differenzenmethode FDM......Page 415
11.5 Verfahren von Galerkin......Page 422
11.5.1 Die schwache Form......Page 425
11.5.2 Sobolev–Räume......Page 426
11.5.4 2. Konstruktion der Sobolev–Räume......Page 429
11.5.5 Durchführung des Verfahrens von Galerkin......Page 433
11.6.1 Kurzer geschichtlicher Überblick......Page 438
11.6.2 Algorithmus zur FEM......Page 439
11.6.3 Zur Fehlerabschätzung......Page 444
11.7.1 Einleitende Beispiele......Page 446
11.7.2 Grundlagen......Page 448
11.7.3 Eine einfache Standardaufgabe......Page 450
11.7.4 Verallgemeinerung......Page 454
11.7.5 Belastete Variationsprobleme......Page 456
11.8 Verfahren von Ritz......Page 457
11.8.1 Vergleich von Galerkin– und Ritz–Verfahren......Page 459
12 Partielle Differentialgleichungen......Page 464
12.1 Einige Grundtatsachen......Page 465
12.1.1 Klassifizierung von partiellen Diferentialgleichungen zweiter Ordnung......Page 467
12.1.2 Anfangs– und Randbedingungen......Page 470
12.1.3 Korrekt gestellte Probleme......Page 473
12.2.1 Dirichletsche Randwertaufgabe......Page 475
12.2.2 Neumannsche Randwertaufgabe......Page 485
12.2.3 Numerische Lösung mit dem Differenzenverfahren......Page 488
12.3.1 Einzigkeit und Stabilität......Page 495
12.3.2 Zur Existenz......Page 498
12.3.3 Numerische Lösung mit dem Differenzenverfahren......Page 503
12.4.1 Die allgemeine Wellengleichung......Page 510
12.4.2 Das Cauchy–Problem......Page 513
12.4.3 Das allgemeine Anfangs–Randwert–Problem......Page 514
12.4.4 Numerische Lösung mit dem Differenzenverfahren......Page 518
Literaturverzeichnis......Page 524
Index......Page 526
Mehr eBooks bei www.ciando.com......Page 0
