Задачи и методы конечномерной оптимизации. Часть 2/Учебное пособие. - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та, 2003. - 257 с.Часть 2 посвящена методам решения общих задач математического программирования, включая многокритериальные и многоэкстремальные задачи с ограничениями. С единых позиций рассматриваются как классические результаты, так и фундаментальные результаты, полученные специалистами Нижегородской школы многоэкстремальной оптимизации.
В первом разделе рассматривается соотношение между задачами рационального и оптимального выбора и примеры прикладных задач. Вводится понятие решений по Парето и Слейтеру, а также разбираются различные подходы к отысканию этих решений. Изучаются важные для дальнейшего классы функций и их свойства.
Во втором разделе рассматриваются теоретические основы аналитического решения задач оптимального выбора. Здесь дается обобщение классических результатов по теории экстремума на многокритериальные задачи. Кроме того, для случая общих однокритериальных задач изучаются элементы теории двойственности, а также схемы вытекающих из них вычислительных алгоритмов для задач с ограничениями.
Третий раздел специально посвящен общим методам учета функциональных ограничений. В нем, кроме метода внешнего штрафа, рассмотрены концепции метода модифицированных функций Лагранжа, а также несколько методов параметризации, в частности обобщение индексной схемы Маркина–Стронгина.
Разделы с четвертого по шестой значительно опираются на результаты
Нижегородской школы по многоэкстремальной оптимизации. В первом из них
рассмотрены математические основы построения алгоритмов, исходя из принципов оптимальности, выполняется анализ их свойств исходя из теории характеристической представимости и Т–представимости. В пятом разделе разбираются фундаментальные результаты по редукции размерности в многомерных задачах, приводятся основанные на них алгоритмы решения однокритериальных многоэкстремальных многомерных задач с ограничениями.
В шестом разделе рассматриваются методы одновременного оценивания всего
множества точек, оптимальных по Парето или Слейтеру на примере липшицевых задач, в частности скаляризатор Стронгина–Маркина.
Седьмой раздел части 2 связан с моделями и методами эффективного локального уточнения найденных оценок решения и является необходимым дополнением к материалу предыдущих разделов, позволяющим получать окончательные решения в задачах оптимальннго выбора. Материал этого раздела включает специальные эффективные алгоритмы решения выпуклых гладких задач (метод эллипсоидов), а также эффективные вычислительные схемы для общих задач локальной оптимизации. Изучаются также специальные методы учета линейных ограничений при локальной оптимизации.
