Изложены основы функционального анализа и теории операторов: теория меры и интеграла, нормированные пространства и функционалы и операторы в них, спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах (включая неограниченные операторы и теорию разложений по обобщенным собственным векторам), элементы теории обобщенных функций как конечного, так и бесконечного порядка, теория интегральных уравнений. Теоретический материал иллюстрируется большим числом примеров и упражнений для самостоятельной работы. Изложение ведется с учетом возможных приложений к задачам современной математической физики.
Для студентов университетов, обучающихся по специальности «Математика». Может быть использовано студентами втузов и пединститутов, аспирантами и научными работниками.
Author(s): Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г.
Edition: Выща школа
Publisher: «ВЫЩА ШКОЛА»
Year: 1990
Language: Russian
Pages: 602
City: Киев
Березанский Ю.М, Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ......Page 1
ОГЛАВЛЕНИЕ......Page 598
Предисловие......Page 4
§ 1. Операции над множествами. Упорядоченные множества......Page 6
§ 2. Системы множеств......Page 8
§ 3. Понятие меры множества. Простейшие свойства меры......Page 11
§ 4. Внешняя мера......Page 13
§ 5. Измеримые множества и продолжение меры......Page 16
§ 6. Свойства мер и измеримых множеств......Page 20
§ 7. Монотонные классы множеств и единственность продолжения меры......Page 24
§ 8. Меры, принимающие бесконечные значения......Page 27
§ 9. Мера Лебега ограниченных линейных множеств......Page 28
§ 10. Мера Лебега на прямой......Page 34
§ 11. Мера Лебега в N-мерном евклидовом пространстве......Page 38
§ 12. Дискретная мера......Page 40
§ 13. Некоторые сведения о неубывающих функциях......Page 41
§ 14. Построение меры по неубывающей функции. Мера Лебега —Стилтьеса......Page 45
§ 15. Восстановление неубывающей функции по мере Лебега —Стилтьеса......Page 50
§ 16. Заряды и их свойства......Page 51
§ 17. Связь функций ограниченной вариации с зарядами......Page 58
§ 1. Измеримые пространства и пространства с мерой. Измеримые функции......Page 62
§ 2. Свойства измеримых функций......Page 65
§ 3. Эквивалентность функций......Page 69
§ 4. Последовательности измеримых функций......Page 70
§ 5. Простые функции. Приближение измеримых функций простыми. Теорема Лузина......Page 78
§ 1. Интегрирование простых функций......Page 82
§ 2. Интегрирование измеримых ограниченных функций......Page 87
§ 3. Связь между интегралами Римана и Лебега......Page 92
§ 4. Интегрирование неотрицательных неограниченных функций......Page 95
§ 5. Интегрирование неограниченных функций любого знака......Page 101
§ 6. Предельный переход под знаком интеграла Лебега......Page 106
§ 7. Интегрирование по множеству бесконечной меры......Page 111
§ 8. Суммируемость и несобственный интеграл Римана......Page 113
§ 9. Интегрирование комплекснозначных функций......Page 116
§ 10. Интеграл по заряду......Page 117
§ 11. Интеграл Лебега — Стилтьеса. Связь с интегралом Римана —Стилтьеса......Page 118
§ 12. Интеграл Лебега и теория рядов......Page 120
§ 1. Прямое произведение измеримых пространств, сечение множеств и функций......Page 122
§ 2. Произведение мер......Page 124
§ 3. Теорема Фубини......Page 127
§ 4. Произведение конечного числа мер......Page 132
§ 1. Абсолютно непрерывные меры и заряды......Page 134
§ 2. Теорема Радона — Никодима......Page 136
§ 3. Производная Радона — Никодима. Замена переменной в интеграле Лебега......Page 141
§ 4. Отображения пространств с мерой. Замена переменной в интеграле Лебега (другой подход)......Page 144
§ 5. Сингулярность мер и зарядов. Разложение в смысле Лебега......Page 147
§ 6. Абсолютно непрерывные функции. Простейшие свойства......Page 149
§ 7. Связь абсолютно непрерывных функций с зарядами......Page 152
§ 8. Формула Ньютона — Лейбница. Сингулярные функции. Разложение функции ограниченной вариации в смысле Лебега......Page 155
§ 1. Понятие топологического пространства......Page 160
§ 2. Линейные топологические пространства......Page 161
§ 3. Линейные нормированные и банаховы пространства......Page 163
§ 4. Пополнение линейных нормированных пространств......Page 166
§ 5. Предгильбертовы и гильбертовы пространства......Page 169
§ 6. Квазискалярное произведение и полунормы......Page 173
§ 7. Примеры банаховых и гильбертовых пространств......Page 175
§ 8. Пространства суммируемых функций. Пространства lp......Page 179
§ 1. Теорема о почти ортогональном векторе. Конечномерные пространства......Page 194
§ 2. Линейные непрерывные функционалы и их простейшие свойства. Сопряженное пространство......Page 198
§ 3. Продолжение линейных непрерывных функционалов......Page 201
§ 4. Некоторые следствия из теоремы Хана — Банаха......Page 207
§ 5. Общий вид линейных непрерывных функционалов в некоторых банаховых пространствах......Page 210
§ 6. Вложение линейного нормированного пространства во второе сопряженное. Рефлексивные пространства......Page 219
§ 7. Теорема Банаха — Штейнгауза. Слабая сходимость......Page 221
§ 8. Понятие тихоновского произведения и слабая топология в сопряженном пространстве......Page 228
§ 9. Ортогональность и ортогональные проекции в гильбертовом пространстве. Общий вид линейного непрерывного функционала......Page 231
§ 10. Ортонормированные системы векторов и ортонормированные базисы в гильбертовом пространстве......Page 235
§ 1. Линейные операторы в нормированных пространствах......Page 243
§ 2. Пространство линейных непрерывных операторов......Page 247
§ 3. Произведение операторов. Обратный оператор......Page 251
§ 4. Сопряженный оператор......Page 258
§ 5. Линейные операторы в гильбертовых пространствах......Page 262
§ 6. Матричное представление операторов в гильбертовом пространстве......Page 267
§ 7. Операторы Гильберта — Шмидта......Page 272
§ 8. Спектр и резольвента линейного непрерывного оператора......Page 276
§ 1. Определение и свойства компактных операторов......Page 281
§ 2. Теория Рисса — Шаудера разрешимости уравнений с компактными операторами......Page 286
§ 3. Разрешимость интегральных уравнений Фредгольма......Page 293
§ 4. Спектр компактного оператора......Page 298
§ 5. Спектральный радиус оператора......Page 301
§ 6. Решение интегральных уравнений второго рода методом последовательных приближений......Page 305
§ 1. Спектральное разложение для компактного самосопряженного оператора......Page 309
§ 2. Интегральные операторы с эрмитовыми ядрами......Page 314
§ 3. Интеграл Бохнера......Page 321
§ 4. Аналитические функции от операторов......Page 325
§ 1. Основные и обобщенные функции......Page 334
§ 2. Операции над обобщенными функциями......Page 345
§ 3. Обобщенные функции медленного роста. Преобразование Фурье......Page 349
§ 1. Определение неограниченного оператора. График оператора......Page 358
§ 2. Замкнутые операторы и операторы, допускающие замыкание. Дифференциальные операторы......Page 361
§ 3. Понятие сопряженного оператора......Page 367
§ 4. Дефектные числа общих операторов......Page 373
§ 5. Эрмитовы и самосопряженные операторы. Общие сведения......Page 377
§ 6. Изометрические и унитарные операторы. Преобразование Кэли......Page 383
§ 7. Теория расширения эрмитовых операторов до самосопряженных......Page 387
Глава XIII. Спектральные разложения для самосопряженных, унитарных и нормальных операторов. Критерии самосопряпенности......Page 394
§ 1. Понятие разложения единицы и его свойства......Page 395
§ 2. Построение спектральных интегралов......Page 400
§ 3. Образ разложения единицы и замена переменных в спектральных интегралах. Произведение разложений единицы......Page 408
§ 4. Спектральное разложение для ограниченных самосопряженных операторов......Page 413
§ 5. Спектральное разложение для унитарного и ограниченного нормального операторов......Page 423
§ 6. Спектральные разложения для неограниченных операторов......Page 431
§ 7. Спектральное представление однопараметрической унитарной группы и операторные дифференциальные уравнения......Page 442
§ 8. Эволюционные критерии самосопряженности......Page 449
§ 9. Квазианалитические критерии самосопряженности и коммутируемости......Page 455
§ 10. Самосопряженность возмущенного оператора......Page 461
§ 1. Гильбертовы оснащения......Page 463
§ 2. Оснащение гильбертова пространства линейными топологическими пространствами......Page 468
§ 3. Соболевские пространства в ограниченной области......Page 476
§ 4. Соболевские пространства в неограниченной области. Классические пространства основных функций......Page 481
§ 5. Тензорные произведения пространств......Page 490
§ 6. Теорема о ядре......Page 496
§ 7. Пополнение пространства по двум нормам......Page 505
§ 8. Полуограниченные билинейные формы......Page 508
§ 1. Дифференцирование операторнозначной меры и разложения единицы......Page 517
§ 2. Обобщенные собственные векторы и проекционная спектральная теорема......Page 523
§ 3. Преобразование Фурье по обобщенным собственным векторам и прямой интеграл гильбертовых пространств......Page 527
§ 4. Разложение по собственным функциям карлемановского оператора......Page 532
§ 1. Теорема об изоморфизмах для эллиптического оператора......Page 537
§ 2. Локальное повышение гладкости обобщенных решений эллиптических уравнений......Page 546
§ 3. Эллиптические дифференциальные операторы в области с границей......Page 555
§ 4. Дифференциальные операторы R^n......Page 559
§ 5. Разложение по собственным функциям и функция Грина эллиптических дифференциальных операторов......Page 566
§ 6. Обыкновенные дифференциальные операторы......Page 578
Список использованной и рекомендуемой литературы......Page 590
Комментарий к списку литературы......Page 593
Предметный указатель......Page 595
Список основных обозначений......Page 597
