普林斯顿微积分读本

第 1 章 函数、图像和直线 1
1.1 函数 1
1.1.1 区间表示法 3
1.1.2 求定义域 3
1.1.3 利用图像求值域 4
1.1.4 垂线检验 5
1.2 反函数 6
1.2.1 水平线检验 7
1.2.2 求逆 8
1.2.3 限制定义域 8
1.2.4 反函数的反函数 9
1.3 函数的复合 10
1.4 奇函数和偶函数 12
1.5 线性函数的图像 14
1.6 常见函数及其图像 16
第 2 章 三角学回顾 21
2.1 基本知识 21
2.2 三角函数定义域的扩展 23
2.2.1 ASTC 方法 25
2.2.2 [0; 2] 以外的三角 函数 27
2.3 三角函数的图像 29
2.4 三角恒等式 32
第 3 章 极限导论 34
3.1 极限：基本思想 34
3.2 左极限与右极限 36
3.3 何时不存在极限 37
3.4 在 1 和 .1 处的极限 38
3.5 关于渐近线的两个常见 错误认知 41
3.6 三明治定理 43
3.7 极限的基本类型小结 45
第 4 章 如何求解涉及多项式的极限 问题 47
4.1 包含当 x ! a 时的有理函数的极限 47
4.2 当 x ! a 时的涉及平方根的极限 50
4.3 当 x ! 1 时涉及的有理函数的极限 51
4.4 当 x ! 1 时的多项式型函数的极限 56
4.5 当 x ! .1 时的有理函数的极限 59
4.6 包含绝对值的极限 61
第 5 章 连续性和可导性 63
5.1 连续性 63
5.1.1 在一点处连续 63
5.1.2 在一个区间上连续 64
5.1.3 连续函数的例子 65
5.1.4 介值定理 67
5.1.5 一个更难的 IVT 例子 69
5.1.6 连续函数的最大值和最小值 70
5.2 可导性 71
5.2.1 平均速率 71
5.2.2 位移和速度 72
5.2.3 瞬时速度 73
5.2.4 速度的图像解释 74
5.2.5 切线 75
5.2.6 导函数 76
5.2.7 作为极限比的导数.78
5.2.8 线性函数的导数 80
5.2.9 二阶导数和更高阶导数 80
5.2.10 导数何时不存在 81
5.2.11 可导性和连续性 82
第 6 章 如何求解微分问题 84
6.1 使用定义求导 84
6.2 求导 (好方法) 87
6.2.1 函数的常数倍 88
6.2.2 函数和与函数差 88
6.2.3 通过乘积法则求积 函数的导数 88
6.2.4 通过商法则求商 函数的导数 90
6.2.5 通过链式求导法则求 复合函数的导数 91
6.2.6 一个令人讨厌的例子 94
6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由 96
6.3 求切线方程 98
6.4 速度和加速度 99
6.5 导数伪装的极限 102
6.6 分段函数的导数 104
6.7 直接画出导函数的图像 107
第 7 章 三角函数的极限和导数 111
7.1 涉及三角函数的极限 111
7.1.1 小数情况 111
7.1.2 问题的求解 || 小数的情况. 113
7.1.3 大数的情况 117
7.1.4 \其他的" 情况 120
7.1.5 一个重要极限的证明 121
7.2 涉及三角函数的导数 124
7.2.1 求三角函数导数 的例子 127
7.2.2 简谐运动 128
7.2.3 一个好奇的函数 129
第 8 章 隐函数求导和相关变化率 132
8.1 隐函数求导 132
8.1.1 技巧和例子 133
8.1.2 隐函数求二阶导 137
8.2 相关变化率 138
8.2.1 一个简单的例子 140
8.2.2 一个稍难的例子 141
8.2.3 一个更难的例子 142
8.2.4 一个非常难的例子 144
第 9 章 指数函数和对数函数 148
9.1 基础知识 148
9.1.1 指数函数的回顾 148
9.1.2 对数函数的回顾 149
9.1.3 对数函数、指数函数及 反函数. .150
9.1.4 对数法则 151
9.2 e 的定义 153
9.2.1 一个有关复利的例子 153
9.2.2 我们的问题的答案 154
9.2.3 关于 e 和对数函数的更多内容 156
9.3 对数函数和指数函数求导 158
9.4 如何求解涉及指数函数和对数 函数的极限 161
9.4.1 涉及 e 的定义的极限 161
9.4.2 指数函数在 0 附近的行为 162
9.4.3 对数函数在 1 附近的行为 164
9.4.4 指数函数在 1 或 .1 附近的行为 165
9.4.5 对数函数在 1 附近的行为 167
9.4.6 对数函数在 0 附近的行为 169
9.5 对数函数求导 170
9.6 指数的增长和衰退.174
9.6.1 指数增长 175
9.6.2 指数衰退 176
9.7 双曲函数. .178
第 10 章 反函数和反三角函数 182
10.1 导数和反函数 182
10.1.1 使用导数证明反函数 存在 182
10.1.2 导数和反函数：可能 出现的问题 183
10.1.3 求反函数的导数 184
10.1.4 一个重要的例子 186
10.2 反三角函数 188
10.2.1 反正弦函数 188
10.2.2 反余弦函数 191
10.2.3 反正切函数 193
10.2.4 反正割函数 195
10.2.5 反余割函数及反余 切函数 196
10.2.6 计算反三角函数 197
10.3 反双曲函数 199
第 11 章 导数和图像 203
11.1 函数的极值问题 203
11.1.1 全局极值和局部极值 203
11.1.2 极值定理 204
11.1.3 怎样求全局最大值和全局最小值 205
11.2 罗尔定理 208
11.3 中值定理 210
11.4 二次导数及图像 213
11.5 对于导数为零点的分类 215
11.5.1 一次导数的应用 216
11.5.2 二阶导数的应用 217
第 12 章 如何绘制函数图像 220
12.1 怎样建立符号表格 220
12.1.1 制作一次导数的符号表格 222
12.1.2 制作二次导数的表格 223
12.2 绘制函数图像的完全方法 225
12.3 例题 226
12.3.1 一个不使用导数的例子 226
12.3.2 使用完全方法绘制函数图像: 例 1 229
12.3.3 例 2 230
12.3.4 例 3 233
12.3.5 例 4 236
第 13 章 最优化和线性化 240
13.1 最优化问题 240
13.1.1 一个简单的最优化例子 240
13.1.2 最优化问题：通常的 方法 241
13.1.3 一个最优化的例子 242
13.1.4 另一个最优化的例子 244
13.1.5 在最优化问题中使用隐函数的求导方法 247
13.1.6 一个较难的最优化例题 247
13.2 线性化 250
13.2.1 线性化的归纳 251
13.2.2 微分 253
13.2.3 线性化的总结和 例子 255
13.2.4 在我们估算过程中的 误差 256
13.3 牛顿方法 258
第 14 章 洛必达法则及极限问题综述 264
14.1 洛必达法则 264
14.1.1 类型 A：0/0 264
14.1.2 类型 A : §1= §1 267
14.1.3 类型 B1(1.1) 268
14.1.4 类型 B2(0 ￡§1) 270
14.1.5 类型 C(1§1; 00 或 10) 271
14.1.6 洛必达法则类型的总结 273
14.2 关于极限的总结 274
第 15 章 积分 277
15.1 求和符号 277
15.1.1 一个有用的求和 280
15.1.2 伸缩求和法 281
15.2 位移和面积 284
15.2.1 三个简单的例子 284
15.2.2 一段更常规的旅行 286
15.2.3 有正负的面积 288
15.2.4 连续的速度 289
15.2.5 两个特别的估算 292
第 16 章 定积分 295
16.1 基本思想 295
16.2 定积分的定义 299
16.3 定积分的特性 303
16.4 求面积 307
16.4.1 求非代数和面积 308
16.4.2 求解两条曲线之间的面积 310
16.4.3 求曲线与 y 轴所围成的面积 312
16.5 估算积分 315
16.6 积分的平均值和中值定理 318
16.7 不可积的函数 321
第 17 章 微积分基本定理 323
17.1 以其他函数为积分的函数 323
17.2 微积分的第一基本定理 326
17.3 微积分的第二基本定理 330
17.4 不定积分 331
17.5 怎样解决问题：微积分第一基本定理 333
17.5.1 变形 1：变量是积分下限 334
17.5.2 变形 2：积分上限是一个函数 334
17.5.3 变形 3：积分上下限都为函数 336
17.5.4 变形 4：极限伪装成导数 337
17.6 怎样解决问题：微积分第二基本定理 337
17.6.1 计算不定积分 338
17.6.2 计算定积分 340
17.6.3 非代数和面积和绝对值 343
17.7 技术上的观点 346
17.8 微积分第一基本定理的证明 347
第 18 章 积分的方法：第一部分 349
18.1 替代法 349
18.1.1 换元法和定积分 352
18.1.2 怎样决定替代公式 355
18.1.3 换元法的理论解释 357
18.2 分部积分法 358
18.3 部分分式 363
18.3.1 部分分式的代数 运算 363
18.3.2 对每一部分积分 367
18.3.3 方法和一个完整的例子 369
第 19 章 积分的方法：第二部分 374
19.1 应用三角函数公式的积分 374
19.2 关于三角函数的幂的积分 377
19.2.1 sin 或 cos 的幂 377
19.2.2 tan 的幂 379
19.2.3 sec 的幂 380
19.2.4 cot 的幂 382
19.2.5 csc 的幂 383
19.2.6 递归公式.383
19.3 关于三角换元法的积分 385
19.3.1 类型 1：pa2 . x2 385
19.3.2 类型 2：px2 + a2 387
19.3.3 类型 3：px2 . a2 388
19.3.4 配方和三角换元法 389
19.3.5 关于三角换元法的总结 390
19.3.6 平方根的方法和三角换元法 390
19.4 积分技巧综述 392
第 20 章 反常积分：基本概念 394
20.1 收敛和发散 394
20.1.1 关于反常积分的一些例子 396
20.1.2 其他的破裂点 398
20.2 关于无穷区间的积分 399
20.3 比较判别法 (理论) 401
20.4 极限比较判别法 (理论) 403
20.4.1 函数互为渐近线 403
20.4.2 关于判别法的陈述 405
20.5 P 判别法 (理论) 406
20.6 绝对收敛判别法 408
第 21 章 反常积分：如何解题 411
21.1 如何开始 411
21.1.1 拆分积分 411
21.1.2 如何处理负函数值 412
21.2 积分判别法总结 414
21.3 1 和 .1 附近的常见函数 415
21.3.1 1 和 .1 附近的多项式和多项式型函数 416
21.3.2 1 和 .1 附近的三角函数 418
21.3.3 1 和 .1 附近的 指数 420
21.3.4 1 附近的对数 423
21.4 常见函数在 0 附近的情形 427
21.4.1 0 附近的多项式和多项式型函数 427
21.4.2 0 附近的三角函数 428
21.4.3 0 附近的指数函数 429
21.4.4 0 附近的对数函数 431
21.4.5 0 附近的更一般 函数 432
21.5 如何应对不在 0 或 1 处的瑕点 433
第 22 章 数列和级数：基本概念 435
22.1 数列的收敛和发散 435
22.1.1 数列和函数的联系 436
22.1.2 两个重要数列 438
22.2 级数的收敛与发散 439
22.3 第 n 项判别法 (理论) 443
22.4 无穷级数和反常积分的性质 444
22.4.1 比较判别法 (理论) 444
22.4.2 极限比较判别法 (理论) 445
22.4.3 p 判别法 (理论) 446
22.4.4 绝对收敛判别法 447
22.5 级数的新判别法 448
22.5.1 比式判别法 (理论) 448
22.5.2 根式判别法 (理论) 450
22.5.3 积分判别法 (理论) 451
22.5.4 交错级数判别法 (理论) 454
第 23 章 如何求解级数问题 457
23.1 如何求几何级数的值 457
23.2 如何应用第 n 项判别法 459
23.3 如何应用比式判别法 460
23.4 如何应用根式判别法 463
23.5 如何应用积分判别法 464
23.6 如何应用比较判别法、极限比较判别法和 p 判别法 466
23.7 如何应对含负项的级数 470
第 24 章 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论 475
24.1 近似值和泰勒多项式 475
24.1.1 重访线性化 476
24.1.2 二次近似 476
24.1.3 高阶近似 477
24.1.4 泰勒定理 478
24.2 幂级数和泰勒级数 481
24.2.1 一般幂级数 482
24.2.2 泰勒级数和麦克劳林 级数 484
24.2.3 泰勒级数的收敛性 485
24.3 一个重要极限 488
第 25 章 如何求解估算问题 490
25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结 490
25.2 求泰勒多项式与泰勒级数 491
25.3 用误差项估算问题 494
25.3.1 第一个例子 495
25.3.2 第二个例子 497
25.3.3 第三个例子 498
25.3.4 第四个例子 499
25.3.5 第五个例子 501
25.3.6 误差项估算的一般方法 502
25.4 误差估算的另一种方法 502
第 26 章 泰勒级数和幂级数：如何解题 505
26.1 幂级数的收敛性 505
26.1.1 收敛半径 505
26.1.2 如何求收敛半径和收敛区域 507
26.2 由旧泰勒级数求新泰勒级数 511
26.2.1 代换和泰勒级数 512
26.2.2 泰勒级数求导 514
26.2.3 泰勒级数求积分 515
26.2.4 泰勒级数相加和相减 517
26.2.5 泰勒级数相乘 518
26.2.6 泰勒级数相除 519
26.3 利用幂级数和泰勒级数求导 520
26.4 利用麦克劳林级数求极限 522
第 27 章 参数方程和极坐标 526
27.1 参数方程 526
27.2 极坐标 531
27.2.1 极坐标与笛卡儿坐标互换 532
27.2.2 极坐标系中画曲线 534
27.2.3 求极坐标曲线的切线 537
27.2.4 求极坐标曲线围成的面积 538
第 28 章 复数 541
28.1 基础 541
28.2 复平面 544
28.3 复数的高次幂 547
28.4 解 zn = w 548
28.5 解 ez = w 553
28.6 一些三角级数 555
28.7 欧拉等式和幂级数 557
第 29 章 体积、弧长和表面积 559
29.1 旋转体的体积 559
29.1.1 圆盘法 560
29.1.2 壳法 561
29.1.3 总结和变式 563
29.1.4 变式 1：区域在曲线和y 轴之间 563
29.1.5 变式 2：两曲线间的区域 565
29.1.6 变式 3：绕平行于坐标轴的轴旋转 567
29.2 一般固体体积 569
29.3 弧长 573
29.4 旋转体的表面积 577
第 30 章 微分方程 581
30.1 微分方程导论 581
30.2 可分离变量的一阶微分方程 582
30.3 一阶线性方程 584
30.4 常系数微分方程 588
30.4.1 解一阶齐次方程 589
30.4.2 解二阶齐次方程 589
30.4.3 为什么特征二次方程适用 590
30.4.4 非齐次方程和特解 591
30.4.5 求特解 592
30.4.6 求特解的例子 593
30.4.7 解决 yP 和 yH 间的冲突 596
30.4.8 IVP. 596
30.5 微分方程建模 598
附录 A 极限及其证明 601
A.1 极限的正式定义 601
A.1.1 小游戏 601
A.1.2 真正的定义 603
A.1.3 应用定义的例子 604
A.2 由原极限产生新极限 605
A.2.1 极限的和与差及证明 605
A.2.2 极限的乘积及证明 606
A.2.3 极限的商及证明 607
A.2.4 三明治定理及证明 609
A.3 极限的其他情形 609
A.3.1 无穷极限 610
A.3.2 左极限与右极限 611
A.3.3 在 1 及 .1 处的极限 611
A.3.4 两个涉及三角函数的例子 613
A.4 连续与极限 615
A.4.1 连续函数的复合 615
A.4.2 介值定理的证明 617
A.4.3 最大 { 最小定理的证明 618
A.5 重返指数函数和对数函数 619
A.6 微分与极限 621
A.6.1 函数的常数倍 622
A.6.2 函数的和与差 622
A.6.3 乘积法则的证明 622
A.6.4 商法则的证明 623
A.6.5 链式求导法则的证明 624
A.6.6 极值定理的证明 624
A.6.7 罗尔定理的证明 625
A.6.8 中值定理的证明 625
A.6.9 线性化的误差 626
A.6.10 分段函数的导数 627
A.6.11 洛必达法则的证明 628
A.7 泰勒近似定理的证明 630
附录 B 估算积分 633
B.1 使用条纹估算积分 633
B.2 梯形法则 636
B.3 辛普森法则 638
B.4 近似的误差 640
B.4.1 估算误差的例子 641
B.4.2 误差项不等式的证明 642
符号列表 644
索引 647