М.: НМУ, МЦНМО, 2002 — 61 с.[Московский Центр Непрерывного Математического Образования (МЦНМО).
Независимый Московский Университет (НМУ)].Основным предметом нашего изучения являются поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве, главным образом, компактные не имеющие края. Мы начнём со случая, когда поверхность расположена в пространстве с самопересечениями, но без локальных особенностей, т.е. без точек, в которых поверхность не допускает касательной плоскости. Такие поверхности называются погруженными. Далее изучаются также поверхности с самопересечениями и особенностями, которые естественно возникают в той или иной задаче. Такие поверхности можно называть погруженными поверхностями особенностями.
Авторы постарались обрисовать разнообразные аспекты применений поверхностей в современной топологии и геометрии на примерах математических конструкций, которые в этой связи возникают.Введение.
A. Основные определения. Погружения поверхностей в R^3 и основная проблема их классификации с точностью до регулярной гомотопии и кобордизма. Представление погруженной поверхности семейством сечений. Примеры поверхностей (действующие лица).
- поверхность Боя (тип а,б).
- сфера Морена.
- тор Понтрягина.
- тор Константинова.
- сфера Милнора.
B. Особые точки проекции погруженной поверхности на плоскость, (складки и сборки) построенные по семейству сечений. I-структура погруженной поверхности и методы ее построения. I-структура погружений (1-5).
Элементы дифференциальной топологии и теории гомотопий.
А. Особые точки проекции погруженной поверхности на плоскость, (складки и сборки) построенные по семейству сечений. I-структура погруженной поверхности и методы её построения.
B. Определение групп Immfr(n,1) и Immsf(n,1). Геометрическое описание их образующих при n = 0, 1, 2
C. Конструкция Понтрягина-Тома для кобордизма вложенных многообразий с заданной структурой нормального расслоения. Принцип Смейла-Хирша и теорема Уэлса. Классифицирующие пространства QRPinfty, QS1 для групп Immsf(n,1), Immfr(n,1) кобордизма погружений. Стабильные гомотопические группы сфер Пn, как группы кобордизма погружений ориентированных n-многообразий в евклидовом n+1-пространстве.
Элементы алгебраической топологии.
A. Алгебра Стинрода. Соотношения Адема. Высшие операторы Бокштейна. Метод убивающих модулей для вычисления 2-компонент групп кобордизмов Immfr(n,1) и Immsf(n,1), n=1,2
B. Композиция в стабильных гомотопических группах сфер. Детектирование композиции соотношением Адема.
Квадратичные формы и их простейшие инварианты. Элементарные приложения в геометрической топологии.
A. Классификация классов регулярной гомотопии погруженной поверхности (ориентированной) классом изоморфизма Z/4-квадратичной формы (Z/2-квадратичной формы). Классификация классов кобордизма погруженной поверхности (ориентированной) инвариантом Браун Z/4-квадратичной формы (Arf-инвариантом Z/2-квадратичной формы). Примеры вычислений.
B. Проблема распроектирования и аппроксимации. Arf-инвариант как частичное препятствие к задаче распроектирования.
Элементы теории особенностей.
A. Устойчивые отображения M2 - R2 Особенности I-структуры для отображений M2 - R3 - R2 Дискриминант особенностей I-структуры для отображений. Выражение класса кобордизма Immsf(2,1) инвариантом Васильева 1 порядка I-структуры. Примеры вычисления класса кобордизма.
B. Сферические функции и метод годографа. Лежандровы многообразия и отображения. Особенности лежандровых поверхностей и их однопараметрических деформаций. Отображение Лежандра сферической функции, принцип "исчезновения" диполя. Теорема Максвелла для пространства квадруполей.
C. Пространство псевдоизотопий и метод вычисления его гомотопических групп. Теорема Серфа о пространстве псевдоизотопий. Пространство функций с умеренными особенностями. Пример В.И. Арнольда.
Список литературы.
