Эта книга посвящена одному из важных разделов современной теории вероятностей — диффузионным процессам, которые находят широкое применение в различных областях физики и прикладной математики. Книга содержит большой фактический материал по теории диффузионных процессов и по смежным вопросам теории дифференциальных уравнений, впервые публикующийся в виде отдельной монографии. Помимо сведений, освещавшихся ранее в периодической литературе, приводятся оригинальные результаты авторов. В книгу включено большое число задач, многие с решением.
Author(s): К. Ито, Г. Маккин
Publisher: Мир
Year: 1968
Language: Russian
Pages: 398
Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы......Page 1
ОГЛАВЛЕНИЕ......Page 393
Предисловие редактора перевода......Page 6
Предисловие авторов......Page 9
Предварительные сведения......Page 15
1.1. Стандартное случайное блуждание......Page 21
1.2. Моменты первого достижения для стандартного случайного блуждания......Page 23
1.3. Хинчиновское доказательство предельной теоремы Муавра—Лапласа......Page 26
1.4. Стандартное броуновское движение......Page 29
1.5. Конструкция П. Леви......Page 37
1.6. Строго марковское свойство......Page 41
1.7. Моменты первого достижения для стандартного броуновского движения......Page 44
1.8. Критерий Колмогорова и закон повторного логарифма......Page 54
1.9. Гёльдеровское условие П. Леви......Page 57
1.10. Аппроксимация броуновского движения случайным блужданием......Page 60
2.1. Броуновское движение с отражением......Page 63
2.2. Локальное время Леви......Page 65
2.3. Броуновское движение с эластичным экраном......Page 69
2.4. t+ и пересечения сверху вниз......Page 72
2.5. t+ как мера Хаусдорфа — Безиковича размерности 1/2......Page 74
2.6. Формула Каца для функционалов от броуновского движения......Page 78
2.7. Бесселевские процессы......Page 84
2.8. Стандартное броуновское локальное время......Page 88
2.9. Броуновские экскурсии......Page 102
2.10. Применение бесселевского процесса к броуновским экскурсиям......Page 106
2.11. Замена времени......Page 109
3.1. Определение......Page 112
3.2. Марковские моменты......Page 115
3.3. Некоторые локальные характеристики диффузии......Page 119
3.4. Сингулярные точки......Page 111
3.5. Разложение общей диффузии на простые куски......Page 122
3.6. Операторы Грина и пространство D......Page 124
3.7. Производящие операторы......Page 129
3.8. Производящие операторы (продолжение)......Page 132
3.9. Остановленная диффузия......Page 135
4.1. Общий обзор......Page 139
4.2. G как локальный дифференциальный оператор. Консервативный несингулярный случай......Page 146
4.3. G как локальный дифференциальный оператор. Общий несингулярный случай......Page 152
4.4. Другое доказательство......Page 155
4.5. G в изолированной сингулярной точке......Page 162
4.6. Решение уравнения G*u = аu......Page 166
4.7. G как глобальный дифференциальный оператор. Несингулярный случай......Page 174
4.8. Оператор G на точках переноса......Page 176
4.9. G как глобальный дифференциальный оператор. Сингулярный случай......Page 182
4.10. Моменты первого достижения......Page 184
4.11. Спектральные разложения для функций Грина и переходные плотности......Page 191
4.12. Критерий Колмогорова......Page 205
5.1. Построение траекторий. Общий обзор......Page 209
5.2. Замены времени. Q = R^1......Page 213
5.3. Замены времени. Q= [0, + оо)......Page 216
5.4. Локальные времена......Page 220
5.5. Подчинение и цепное правило......Page 222
5.6. Моменты убивания......Page 225
5.7. Броуновские движения Феллера......Page 234
5.8. Пример Икеда......Page 235
5.9. Замены времени должны производиться при помощи интегралов от локальных времен......Page 238
5.10. Точки переноса......Page 239
5.11. Точки переноса с убиванием......Page 245
5.12. Процессы с созданием массы......Page 249
5.13. Параболическое уравнение......Page 251
5.14. Взрывы......Page 256
5.15. Нелинейное параболическое уравнение......Page 260
6.1. Локальные времена и времена, обратные к ним......Page 264
6.2. Меры Леви......Page 267
6.3. t и смежные интервалы множества Z......Page 271
6.4. Контрпример, касающийся t и смежных интервалов множества Z......Page 273
6.5с. t как диффузия......Page 276
6.6. Размерности......Page 277
6.7. Критерии сравнения......Page 278
6.8. Индивидуальная эргодическая теорема......Page 282
7.1. Многомерная диффузия......Page 287
7.2. Стандартное многомерное броуновское движение......Page 289
7.3. Уход на 00......Page 292
7.4. Гриновские области и функции Грина......Page 293
7.5. Эксцессивные функции......Page 300
7.6. Приложение к спектру оператора Д/2......Page 303
7.7. Потенциалы и вероятности достижения......Page 305
7.8. Ньютоновские емкости......Page 308
7.9. Гауссова квадратичная форма......Page 312
7.10. Критерий Винера......Page 314
7.11. Применения критерия Винера......Page 317
7.12. Задача Дирихле......Page 321
7.13. Задача Неймана......Page 324
7.14. Пространственно-временное броуновское движение......Page 327
7.15. Сферическое броуновское движение и косые произведения......Page 330
7.16. Вращение......Page 335
7.17. Индивидуальная эргодическая теорема для стандартного двумерного броуновского движения......Page 338
7.18. Накрывающие броуновские движения......Page 341
7.19. Диффузии с броуновскими выходными вероятностями......Page 346
7.20. Процессы с траекториями, непрерывными справа......Page 349
7.21. Потенциалы Рисса......Page 353
8.1. Подобные диффузии......Page 357
8.2. G как дифференциальный оператор......Page 358
8.3. Замены времени......Page 361
8.4. Потенциалы......Page 362
8.5. Границы......Page 365
8.6. Эллиптические операторы......Page 369
8.7. Малая граница Феллера и сигма-алгебры «хвостов»......Page 371
Литература......Page 373
Список обозначений......Page 382
Указатель......Page 385
