Введение в теорию кубатурных формул

Титульный лист......Page 1
Аннотация и выходные данные......Page 2
Оглавление......Page 3
Предисловие......Page 7
§ 1. Общие положения. Обратные матрицы......Page 11
§ 2. $(MN)$-преобразование прямоугольных матриц......Page 18
§ 3. Полуобратные матрицы......Page 24
§ 4. Решение систем линейных уравнений......Page 27
§ 5. Эрмитовы и ортогональные матрицы......Page 33
§ 6. Обращение клеточных матриц......Page 40
§ 1. Решетки в $R^n$......Page 46
§ 2. Некоторые ортогонально инвариантные функции решетки......Page 52
§ 3. Построение множества $\mathfrak{N}$......Page 56
§ 4. Плотнейшие упаковки для небольших значений $n$......Page 61
§ 1. Классы функций и некоторые функционалы. Понятие локализации......Page 70
§ 2. Основные неравенства......Page 87
§ 3. Линейные функционалы в пространстве $L_p$......Page 92
§ 4. Средние функции. Дальнейшие свойства пространств $L_p$......Page 104
§ 5. Тензоры и тензорные поля......Page 116
§ 6. Обобщенные производные......Page 130
§ 7. Добавление I. Доказательство неравенства (III.5.34)......Page 140
§ 8. Добавление II. Преобразование компонент симметрического тензора......Page 143
§ 1. Неполная локализация некоторых суммируемых функций......Page 146
§ 2. Первообразные функции......Page 153
§ 3. Пространства типа $W$......Page 171
§ 4. Градиентная мажоранта......Page 186
§ 1. Область существования весовых норм для данной функции. Пространства $X_{p,\nu}$ и другие......Page 197
§ 2. Теорема о выходе на постоянную......Page 215
§ 3. Теоремы вложения при постоянном $p$......Page 222
§ 4. Плотность финитных функций......Page 232
§ 5. Добавление. Неравенство Харди......Page 238
§ 1. Первая теорема об интегралах типа потенциала......Page 241
§ 2. Вторая теорема об интегралах типа потенциала......Page 247
§ 3. Непрерывность интегралов типа потенциала......Page 251
§ 4. Интегралы с потенциальной мажорантой......Page 260
§ 5. Интегральные представления функций из $W_{\mbox{loc}}^{(l)}(R^n)$......Page 262
§ 6. Нормировка пространств $W_p^{(l)}(\Omega,\rho)$......Page 275
§ 7. Теоремы вложения для конечных областей......Page 278
§ 8. Замыкание множества функций, финитных в конечной области......Page 282
§ 9. Теоремы вложения в неограниченном пространстве......Page 290
§ 10. Умножение функций из пространств $\mathring{Y}_{p,\nu}^{(l)}$......Page 304
§ 11. Добавление. Неравенство для смешанного тройного скалярного произведения......Page 308
§ 1. Операции над функциями дискретного аргумента......Page 318
§ 2. Свертка функции дискретного аргумента......Page 321
§ 3. Многочлены дискретного аргумента. Ньютоновские степени......Page 325
§ 4. Частное суммирование функций дискретного аргумента......Page 329
§ 5. Разностные операторы. Представимость финитной функции в дивергентной форме......Page 332
§ 6. Интерполяционные пространства......Page 340
§ 7. Некоторые теоремы вложения и плотность множества финитных функций......Page 347
§ 8. Добавление. Интерполятор Рябенького......Page 348
§ 1. Введение......Page 355
§ 2. Линейные пространства сходимости......Page 362
§ 3. Вложения пространств......Page 372
§ 4. Операции над обобщенными функциями......Page 377
§ 5. Произведение обобщенных функций......Page 386
§ 6. Свертка обобщенных функций......Page 394
§ 7. Замена переменных в обобщенных функциях......Page 399
§ 8. $\delta$-функции правильных решеток......Page 403
§ 9. Интегро-дифференциальные операторы......Page 406
§ 1. Преобразование Фурье пространства $L_2$......Page 415
§ 2. Преобразование Фурье подпространств $L_2$ с более сильной нормой......Page 425
§ 3. Преобразование Фурье функционалов......Page 430
§ 4. Теорема Винера — Пэли......Page 432
§ 5. Преобразование Фурье пространств $K_0^{(s)}$......Page 436
§ 6. Примеры преобразований Фурье......Page 443
§ 1. Функции периодические и функции, заданные на торе......Page 449
§ 2. Скалярное умножение, умножение и свертка......Page 454
§ 3. Пространства типа $C$, $P$ и $R$......Page 457
§ 4. Операции сопоставления для обобщенных функций......Page 462
§ 5. Примеры......Page 467
§ 6. Функции с произвольными периодами......Page 469
§ 1. Оператор Лапласа в полярных координатах......Page 473
§ 2. Шаровые многочлены и представление Гаусса......Page 475
§ 3. Сферические функции......Page 479
§ 4. Разложения в ряды по сферическим гармоникам......Page 489
§ 5. Преобразование Фурье сферических гармоник......Page 498
§ 6. Регуляризация обобщенных функций......Page 504
§ 1. Формула Грина......Page 514
§ 2. Фундаментальное решение полигармонического уравнения......Page 520
§ 3. Дифференциальные свойства решений полигармонического уравнения......Page 523
§ 4. Поведение полигармонических функций вблизи бесконечно удаленной точки......Page 527
§ 5. Теорема Альманзи и преобразование Кельвина......Page 529
§ 6. Главные решения полигармонического уравнения......Page 536
§ 7. Разложение полигармонических функций по главным решениям......Page 547
§ 8. Полигармонические функции из $W_2^{(m)}$ в окрестности бесконечности......Page 556
§ 9. Краевые задачи для полигармонического уравнения в ограниченной области......Page 558
§ 10 Кельвиновская задача в бесконечной области......Page 569
§ 11. Внешняя вариационная задача для полигармонического уравнения......Page 576
§ 12. Продолжение функции из области $\Omega$ на $R^n$ с наименьшей нормой......Page 586
§ 13. Значение функций из $W_p^{(m)}$ точках решетки......Page 592
§ 14. Явный метод регуляризации расходящихся интегралов......Page 596
§ 1. Постановка задачи......Page 606
§ 2. Коэффициенты маклореновского разложения......Page 607
§ 3. Полные множества и их строение......Page 612
§ 4. Локальная теорема о представлении суммой квадратов......Page 617
§ 5. Продолжение краевых значений......Page 620
§ 6. Основная теорема о представлении суммой квадратов......Page 623
§ 7. Разложение в сумму квадратов периодических функций с произвольной матрицей периодов......Page 637
§ 1. Задача интерполирования......Page 645
§ 2. Задача о построении кубатурных формул......Page 650
§ 3. Функциональная постановка задач. Экстремальная функция кубатурной формулы......Page 652
§ 4. Функционал погрешности в $W_2^{(m)}(R^n)$......Page 660
§ 5. Квадрат нормы функционала погрешности......Page 663
§ 6. Уклонение погрешности кубатурной формулы от оптимальной......Page 666
§ 1. Нижняя оценка нормы функционала погрешности......Page 668
§ 2. Приближенная оценка сверху нормы функционала погрешности......Page 673
§ 1. Формулы для периодических функций......Page 683
§ 2. Норма функционала погрешности для периодических функций......Page 687
§ 3. Сложение формул с малыми носителями......Page 690
§ 4. Погрешность на финитных функциях......Page 693
§ 5. Построение формул с регулярным пограничным слоем......Page 703
§ 6. Норма функционала погрешности кубатурных формул с регулярным пограничным слоем в пространстве $L_2^{(m)}(R^n)$......Page 709
§ 7. Норма погрешности формул с регулярным пограничным слоем в $L_2^{(m)}(\Omega)$......Page 719
§ 1. Постановка задачи об оптимальных коэффициентах......Page 722
§ 2. Преобразование Фурье дискретного потенциала......Page 728
§ 3. Свойства оператора $\mathfrak{D}_{hH}^{(m)}[\beta]cdot$......Page 732
§ 4. Дискретный аналог полигармонического оператора......Page 738
§ 5. Оптимальные коэффициенты одномерных формул......Page 750
§ 1. Функциональный класс $\Phi(\beta|A)$......Page 755
§ 2. Функциональный класс $\Psi(\rho|\sigma)$......Page 763
§ 3. Кубатурные формулы для бесконечно дифференцируемых функций......Page 770
§ 4. Сходимость кубатурных формул для произвольной функции $\phi(x)in L_2^{(m)}$......Page 773
§ 1. Выпуклые многогранники. Формула Эйлера......Page 776
§ 2. Рациональные многогранники......Page 783
§ 3. Структура формул для рациональных многогранников......Page 787
§ 4. Кубатурные формулы для многогранника и его телесных углов......Page 790
§ 5. Формулы с формальным пограничным слоем......Page 791
Литература......Page 798
Предметный указатель......Page 802
Список важнейших обозначений......Page 805
Обложка......Page 809