Основы вычислительной математики

Предисловие к первому изданию ......Page 10
Предисловие к третьему изданию ......Page 13
Введение. Общие правила вычислительной работы ......Page 14
§ 1. Абсолютная и относительная погрешности ......Page 18
§ 2. Основные источники погрешностей ......Page 21
§ 3. Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. Число верных знаков ......Page 22
§ 4. Округление чисел ......Page 25
§ 5. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа ......Page 26
§ 6. Таблицы для определения предельной относительной погрешности по числу верных знаков и наоборот ......Page 29
§ 7. Погрешность суммы ......Page 32
§ 8. Погрешность разности ......Page 34
§ 9. Погрешность произведения ......Page 36
§ 10. Число верных знаков произведения ......Page 38
§ 11. Погрешность частного ......Page 39
§ 14. Относительная погрешность корня ......Page 40
§ 15. Вычисления без точного учета погрешностей ......Page 41
§ 16. Общая формула для погрешности ......Page 42
§ 17. Обратная задача теории погрешностей ......Page 44
§ 18. Точность определения аргумента для функции, заданной таблицей ......Page 47
§ 19. Способ границ ......Page 49
§ 20*. Понятие о вероятностной оценке погрешности ......Page 52
Литература к первой главе ......Page 53
§ 1. Определение цепной дроби ......Page 54
§ 2. Обращение цепной дроби в обыкновенную и обратно ......Page 55
§ 3. Подходящие дроби ......Page 57
§ 4. Бесконечные цепные дроби ......Page 65
§ 5. Разложение функций в цепные дроби ......Page 71
Литература ко второй главе ......Page 74
§ 1. Вычисление значений полинома. Схема Горнера ......Page 75
§ 2. Обобщенная схема Горнера ......Page 78
§ 3. Вычисление значений рациональных дробей ......Page 80
§ 4. Приближенное нахождение сумм числовых рядов ......Page 81
§ 5. Вычисление значений аналитической функции ......Page 87
§ 6. Вычисление значений показательной функции ......Page 89
§ 7. Вычисление значений логарифмической функции ......Page 93
§ 8. Вычисление значений тригонометрических функций ......Page 96
§ 9. Вычисление значений гиперболических функций ......Page 99
§ 10. Применение метода итерации для приближенного вычисления значений функции ......Page 101
§11. Вычисление обратной величины ......Page 102
§ 12. Вычисление квадратного корня ......Page 105
§ 14. Вычисление кубического корня ......Page 109
Литература к третьей главе ......Page 112
§ 1. Отделение корней ......Page 113
§ 2. Графическое решение уравнений ......Page 117
§ 3. Метод половинного деления ......Page 119
§ 4. Способ пропорциональных частей (метод хорд) ......Page 120
§ 5. Метод Ньютона (метод касательных) ......Page 124
§ 6. Видоизмененный метод Ньютона ......Page 132
§ 7. Комбинированный метод ......Page 133
§ 8. Метод итерации ......Page 136
§ 9. Метод итерации для системы двух уравнений ......Page 149
§ 10. Метод Ньютона для системы двух уравнений ......Page 153
§ 11. Метод Ньютона для случая комплексных корней ......Page 154
Литература к четвертой главе ......Page 158
§ 1. Общие свойства алгебраических уравнений ......Page 159
§ 2. Границы действительных корней алгебраических уравнений ......Page 164
§ 3. Метод знакопеременных сумм ......Page 166
§ 4. Метод Ньютона ......Page 168
§ 5. Число действительных корней полинома......Page 170
§ 6. Теорема Бюдана-Фурье ......Page 172
§ 7. Идея метода Лобачевского-Греффе ......Page 177
§ 8. Процесс квадрирования корней ......Page 179
§ 9. Метод Лобачевского-Греффе для случая действительных различных корней ......Page 181
§ 10. Метод Лобачевского-Греффе для случая комплексных корней ......Page 184
§ 11. Случай пары комплексных корней ......Page 187
§ 12. Случай двух пар комплексных корней ......Page 191
§ 13. Метод Бернулли ......Page 196
Литература к пятой главе ......Page 199
§ 1. Улучшение сходимости числовых рядов ......Page 200
§ 2. Улучшение сходимости степенных рядов методом Эйлера-Абеля ......Page 206
§ 3. Оценки коэффициентов Фурье ......Page 211
§ 4. Улучшение сходимости тригонометрических рядов Фурье методом А.Н. Крылова ......Page 214
§ 5. Приближенное суммирование тригонометрических рядов ......Page 223
Литература к шестой главе ......Page 225
§ 1. Основные определения ......Page 226
§ 2. Действия с матрицами ......Page 227
§ 3. Транспонированная матрица ......Page 231
§ 4. Обратная матрица ......Page 232
§ 5. Степени матрицы ......Page 237
§ 6. Рациональные функции матрицы ......Page 238
§ 7. Абсолютная величина и норма матрицы ......Page 239
§ 8. Ранг матрицы ......Page 245
§ 9. Предел матрицы ......Page 246
§ 10. Матричные ряды ......Page 248
§ 11. Клеточные матрицы ......Page 253
§ 12. Обращение матриц при помощи разбиения на клетки ......Page 256
§ 13. Треугольные матрицы ......Page 261
§ 14. Элементарные преобразования матриц ......Page 264
§ 15. Вычисление определителей ......Page 265
Литература к седьмой главе ......Page 268
§ 2. Решение систем с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера ......Page 269
§ 3. Метод Гаусса ......Page 273
§ 4. Уточнение корней ......Page 280
§ 5. Метод главных элементов ......Page 282
§ 6. Применение метода Гаусса для вычисления определителей ......Page 284
§ 7. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса ......Page 286
§ 8. Метод квадратных корней ......Page 288
§ 9. Схема Халецкого ......Page 291
§ 10. Метод итерации ......Page 295
§ 11. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации ......Page 302
§ 12. Метод Зейделя ......Page 304
§ 13. Случай нормальной системы ......Page 306
§ 14. Метод релаксации ......Page 308
§ 15. Исправление элементов приближенной обратной матрицы ......Page 311
Литература к восьмой главе ......Page 315
§ 1. Достаточные условия сходимости процесса итерации ......Page 316
§ 2. Оценка погрешности приближений процесса итерации ......Page 318
§ 3. Первое достаточное условие сходимости процесса Зейделя ......Page 321
§ 4. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по m-норме ......Page 323
§ 5. Второе достаточное условие сходимости процесса Зейделя ......Page 324
§ 6. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по l-норме ......Page 326
§ 7. Третье достаточное условие сходимости процесса Зейделя ......Page 327
Литература к девятой главе ......Page 329
§ 1. Понятие линейного векторного пространства ......Page 330
§ 2. Линейная зависимость векторов ......Page 331
§ 3. Скалярное произведение векторов ......Page 336
§ 4. Ортогональные системы векторов ......Page 339
§ 5. Преобразования координат вектора при изменениях базиса ......Page 341
§ 6. Ортогональные матрицы ......Page 343
§ 7. Ортогонализация матриц ......Page 344
§ 8. Применение методов ортогонализации к решению систем линейных уравнений ......Page 352
§ 9. Пространство решений однородной системы ......Page 357
§ 10. Линейные преобразования переменных ......Page 360
§ 11. Обратное преобразование ......Page 366
§ 12. Собственные векторы и собственные значения матрицы ......Page 368
§ 13. Подобные матрицы ......Page 373
§ 14. Билинейная форма матрицы ......Page 376
§ 15. Свойства симметрических матриц ......Page 377
§ 16*. Свойства матриц с действительными элементами ......Page 382
Литература к десятой главе ......Page 386
§ 1. Сходимость матричных степенных рядов ......Page 387
§ 2. Тождество Гамильтона-Кели ......Page 390
§ 3. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса итерации для системы линейных уравнений ......Page 391
§ 4. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса Зейделя для системы линейных уравнений ......Page 393
§ 5. Сходимость процесса Зейделя для нормальной системы ......Page 396
§ 6. Способы эффективной проверки условий сходимости ......Page 398
Литература к одиннадцатой главе ......Page 402
§ 2. Развертывание вековых определителей ......Page 403
§ 3. Метод А.М. Данилевского ......Page 405
§ 4. Исключительные случаи в методе А.М. Данилевского ......Page 411
§ 5. Вычисление собственных векторов по методу А.М. Данилевского ......Page 412
§ 6. Метод А.Н. Крылова ......Page 413
§ 7. Вычисление собственных векторов по методу А.Н. Крылова ......Page 417
§ 8. Метод Леверрье ......Page 418
§ 9. Понятие о методе неопределенных коэффицентов ......Page 420
§ 11. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы и соответствующего собственного вектора ......Page 422
§ 12. Метод скалярных произведений для нахождения первого собственного значения действительной матрицы ......Page 429
§ 13. Нахождение второго собственного значения матрицы и второго собственного вектора ......Page 432
§ 14. Метод исчерпывания ......Page 435
§ 15. Нахождение собственных элементов положительно определенной симметрической матрицы ......Page 438
§ 16. Использование коэффициентов характеристического полинома матрицы для ее обращения ......Page 443
§ 17. Метод Л.А. Люстерника улучшения сходимости процесса итерации для решения системы линейных уравнений ......Page 445
Литература к двенадцатой главе ......Page 450
§ 1. Метод Ньютона ......Page 451
§ 2. Общие замечания о сходимости процесса Ньютона ......Page 457
§ 3*. Существование корней системы и сходимость процесса Ньютона ......Page 461
§ 4*. Быстрота сходимости процесса Ньютона ......Page 466
§ 5*. Единственность решения ......Page 467
§ 6*. Устойчивость сходимости процесса Ньютона при варьировании начального приближения ......Page 470
§ 7. Модифицированный метод Ньютона ......Page 472
§ 8. Метод итерации ......Page 475
§ 9*. Понятие о сжимающем отображении ......Page 478
§ 10*. Первое достаточное условие сходимости процесса итерации ......Page 482
§ 11*. Второе достаточное условие сходимости процесса итерации ......Page 484
§ 12. Метод скорейшего спуска (метод градиента) ......Page 486
§ 13. Метод скорейшего спуска для случая системы линейных уравнений ......Page 491
§ 14*. Метод степенных рядов ......Page 495
Литература к тринадцатой главе ......Page 497
§ 1. Конечные разности различных порядков ......Page 498
§ 2. Таблица разностей ......Page 501
§ 3. Обобщенная степень ......Page 506
§ 4. Постановка задачи интерполирования ......Page 508
§ 5. Первая интерполяционная формула Ньютона ......Page 509
§ 6. Вторая интерполяционная формула Ньютона ......Page 515
§ 7. Таблица центральных разностей ......Page 519
§ 16. Оценки погрешностей центральных интерполяционных формул ......Page 540
§ 10. Интерполяционная формула Бесселя ......Page 522
§ 11. Общая характеристика интерполяционных формул с постоянным шагом ......Page 525
§ 12. Интерполяционная формула Лагранжа ......Page 528
§ 13*. Вычисление лагранжевых коэффициентов ......Page 532
§ 14. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа ......Page 536
§ 15. Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона ......Page 538
§ 17. О наилучшем выборе узлов интерполирования ......Page 541
§ 18. Разделенные разности ......Page 543
§ 19. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих значений аргумента ......Page 545
§ 20. Обратное интерполирование для случая равноотстоящих узлов ......Page 548
§ 21. Обратное интерполирование для случая неравноотстоящих узлов ......Page 551
§ 22. Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования ......Page 552
§ 23. Метод интерполяции для развертывания векового определителя ......Page 554
§ 24*. Интерполирование функций двух переменных ......Page 556
§ 25*. Двойные разности высших порядков ......Page 558
§ 26*. Интерполяционная формула Ньютона для функции двух переменных ......Page 559
Литература к четырнадцатой главе ......Page 562
§ 1. Постановка вопроса ......Page 563
§ 2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона ......Page 564
§ 3. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на формуле Стирлинга ......Page 568
§ 4. Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих точек, выраженные через значения функции в этих точках ......Page 572
§ 5. Графическое дифференцирование ......Page 575
§ 6*. Понятие о приближенном вычислении частных производных ......Page 576
Литература к пятнадцатой главе ......Page 577
§ 1. Общие замечания ......Page 578
§ 2. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса ......Page 581
§ 3. Формула трапеций и ее остаточный член ......Page 583
§ 4. Формула Симпсона и ее остаточный член ......Page 584
§ 5. Формулы Ньютона-Котеса высших порядков ......Page 587
§ 6. Общая формула трапеций (правило трапеций) ......Page 589
§ 7. Общая формула Симпсона (параболическая формула) ......Page 590
§ 8. Понятие о квадратурной формуле Чебышева ......Page 594
§ 9. Квадратурная формула Гаусса ......Page 598
§ 10. Некоторые замечания о точности квадратурных формул ......Page 605
§ 11*. Экстраполяция по Ричардсону ......Page 608
§ 12*. Числа Бернулли ......Page 612
§ 13*. Формула Эйлера-Маклорена ......Page 614
§ 14. Приближенное вычисление несобственных интегралов ......Page 619
§ 15. Метод Л.В. Канторовича выделения особенностей ......Page 622
§ 16. Графическое интегрирование ......Page 625
§ 17*. Понятие о кубатурных формулах ......Page 628
§ 18*. Кубатурная формула типа Симпсона ......Page 630
Литература к шестнадцатой главе ......Page 634
§ 1. Идея метода Монте-Карло ......Page 635
§ 2. Случайные числа ......Page 636
§ 3. Способы получения случайных чисел ......Page 639
§ 4. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло ......Page 642
§ 5*. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Монте-Карло ......Page 651
Литература к семнадцатой главе ......Page 659
Предметный указатель ......Page 660