В книге одного из ведущих мировых топологов, академика РАН, профессора НИУ ВШЭ В.А. Васильева изложено введение в алгебраическую и дифференциальную топологию - фундаментальные разделы современной математики.
Учебник основан на курсе лекций, прочитанном автором студентам младших курсов Независимого московского университета.
Author(s): Васильев В. А.
Publisher: МЦНМО
Year: 2014
Language: Russian
Pages: 160
City: Москва
Предисловие ......Page 7
1.1. Топологические пространства и гомеоморфизмы ......Page 10
1.2. Топологические операции над топологическими пространствами ......Page 13
1.3. Компактность ......Page 17
§ 2. Гомотопические группы и гомотопическая эквивалентность ......Page 18
2.1. Фундаментальная группа топологического пространства ......Page 19
2.2. Старшие гомотопические группы ......Page 21
2.3. Гомотопическая эквивалентность ......Page 23
2.4. Зависимость гомотопических групп от отмеченной точки ......Page 25
2.5. Функториальность гомотопических групп ......Page 28
3.1. Примеры накрытий ......Page 30
3.2. Классификация накрытий ......Page 32
§ 4. Клеточные пространства (CW-комплексы) ......Page 36
§ 5. Относительные гомотопические группы и точная последовательность пары ......Page 43
5.1. Точная гомотопическая последовательность пары ......Page 44
6.1. Локально тривиальные расслоения ......Page 48
6.2. Точная последовательность расслоения ......Page 54
7.1. Вспомогательные сведения из курса анализа ......Page 57
7.2. Подмногообразия евклидова пространства ......Page 58
7.3. Гладкие структуры ......Page 59
7.5. Касательное расслоение гладкого многообразия ......Page 62
7.6. Римановы структуры ......Page 65
7.7. Кокасательное расслоение и градиентное векторное поле функции на многообразии ......Page 69
8.1. Критические множества гладких отображений ......Page 70
8.2. Степень отображения ......Page 71
8.3. Классификация отображений Мn —> Sn ......Page 74
8.4. Индекс векторного поля ......Page 78
9.1. Цепной комплекс и его гомологии ......Page 82
9.2. Симплициальные гомологии симплициальных полиэдров ......Page 83
9.3. Гомологии с коэффициентами в абелевой группе G ......Page 89
9.4. Отображения комплексов ......Page 91
9.5. Сингулярные гомологии ......Page 92
10.2. Относительные гомологии. Точная последовательность пары ......Page 96
10.4. Гомологии надстройки ......Page 103
10.5. Точная последовательность Майера—Вьеториса ......Page 105
10.7. Функториальность гомологий ......Page 107
10.8. Резюме ......Page 109
11.1. Клеточный комплекс ......Page 110
11.2. Пример: гомологии проективного пространства ......Page 112
11.3. Клеточное разбиение многообразия Грассмана ......Page 114
12.1. Функции Морса ......Page 117
12.2. Клеточная структура многообразия с морсовской функцией ......Page 118
12.4. Правильные функции Морса ......Page 121
12.5. Граничный оператор в комплексе Морса ......Page 124
12.6. Неравенства Морса ......Page 129
12.7. Стандартные перестройки функций Морса ......Page 130
13.1. Когомологии ......Page 133
13.2. Двойственность Пуанкаре для многообразий без края ......Page 135
13.3. Случай многообразий с краем и некомпактных многообразий ......Page 138
13.5. Двойственность Александера ......Page 140
14.1. Инвариант Хопфа ......Page 142
14.2. Степень отображения ......Page 144
14.3. Индекс векторного поля и эйлерова характеристика ......Page 145
15.1. Тензорное произведение ......Page 150
15.2. Группы гомологий и когомологий декартова произведения ......Page 151
15.3. Умножение в когомологиях топологического пространства ......Page 154
15.4. Примеры когомологического умножения и его геометрический смысл ......Page 155
15.5. Основные свойства когомологического умножения ......Page 156
15.7. Умножение Понтрягина ......Page 157
Предметный указатель ......Page 158
