Arithmétique des revêtements algébriques : Actes du colloque de Saint-Etienne

Résumé : Les 24, 25 et 26 mars 2000, s'est déroulé à Saint-Étienne, un colloque sur le thème des revêtements algébriques. Un des objectifs de cette manifestation fut de présenter les bases algébriques de cette théorie puis de donner un aperçu de l'état de la recherche dans le domaine. Le volume d'actes que nous présentons ici se veut être à l'image de ce que fut ce colloque. Le lecteur trouvera donc dans ce recueil des articles de survol et de recherche largement accessibles, en particulier sur la théorie inverse de Galois, les espaces de modules de revêtements (espaces de Hurwitz), les problèmes de descente, la géométrie rigide, le langage des gerbes et champs et ses applications, les modules galoisiens et les morphismes de courbes. Un mini-cours sur les revêtements topologiques et algébriques est donné en annexe et constituera pour le lecteur non-spécialiste, une base solide pour aborder les thèmes développés dans ce volume. Mots clefs : Théorie de Galois, problème inverse, revêtements, revêtements galoisiens, (G-)revêtements, groupes fondamentaux, déformations, recollements, espaces de modules grossiers et fins, espaces de Hurwitz, monodromie, surfaces de Riemann, théorème d'existence de Riemann, courbes de genre 1 et 2, jacobiennes, corps de définition, corps des modules, espace de Hurwitz des modules grossier, gerbe des modèles, fonctions implicites, revêtement de la droite projective, GAGA, champs, gerbes, descente, ramification, automorphismes des courbes, théorèmes de Riemann-Roch Abstract: Arithmetics of algebraic coverings The 24th, 25th and 26th of March 2000, has been held in Saint-Etienne a conference on the algebraic covers. One of the aims of this conference was to introduce algebraic bases of this theory and to give a survey of research tools on the subject. The proceedings we are presenting here want to reflect the spirit of this colloquium. The reader should find in this volume some research's and survey's open articles, in particular on Inverse Galois theory, moduli spaces, descent's problems, rigid geometry, the language of stacks and gerbs and its applications, Galois modules and morphisms of curves. In an appendix, one can find a small lecture on topological and algebraic covers. It will make up a good introduction to the subject for the non-specialist reader. Key words: Galois theory, inverse problem, covers, Galois covers,(G-)covers, fundamental groups, deformation, patching, coarse and fine moduli spaces, Hurwitz spaces, monodromy, Riemann surfaces, Riemann's existence theorem, genus 1 and 2 curves, jacobians, field of definition, field of moduli, Hurwitz' coarse moduli space, gerbe of models, implicit functions, covering of the projective line, GAGA, stacks, gerbs, descent, ramification, automorphisms of curves, Riemann-Roch theorems Class. math. : 12F12, 14H30, 14G32, 12E30, 14D15, 14D10, 14H05, 14H10, 30F10, 14G27, 14D22, 14E22, 14G22, 18G50, 14E20, 14D22, 11G99, 14H37, 14C40 Table of Contents * P. Dèbes -- Thèorie de Galois et géométrie: une introduction * P. Dèbes -- Méthodes topologiques et analytiques en théorie inverse de Galois: Théorème d'existence de Riemann * Q. Liu -- Une mini introduction à la géométrie analytique rigide * M. Emsalem -- Espaces de Hurwitz * S. Flon -- Corps des modules et bonnes places * J.-C. Douai -- Descente, champs et gerbes de Hurwitz * Ph. Satgé -- Morphismes d'une courbe de genre 2 vers une courbe de genre 1 * N. Borne -- Modules galoisiens sur les courbes: une introduction * P. Dèbes -- Annexe: Revêtements topologiques