Этот курс лекций читался для студентов 3 курса экономического отделения механико-математического МГУ в осеннем семестре на протяжении нескольких лет. Он вмещает практически весь материал, который студенты других отделений изучают в течение года с неизбежными, разумеется, сокращениями. В частности, курс не включает теорию задачи Коши для волнового уравнения в пространствах многих переменных и теорию потенциала. Некоторые теоремы приводятся без доказательства. Но в курсе есть разделы, которые не читаются на других потоках --- приложения теории уравнения теплопроводности к оценке стоимости производных ценных бумаг (деривативов), вывод и последующий анализ уравнения Блэка и Шоулса.
Во второй версии лекций исправлены замеченные опечатки.
Author(s): Розанова О.С.
Edition: 2
Publisher: Кафедра дифференциальных уравнений МГУ им. М.В.Ломоносова
Year: 2009
Language: Russian
Pages: 100
City: Москва
1 Основные понятия и определения
2 Уравнения первого порядка
3 Линейные уравнения второго порядка
3.1 Волновое уравнение
3.2 Уравнение теплопроводности (диффузии)
3.3 Стационарные задачи
3.4 Понятие о корректно поставленных задачах
3.5 Характеристические поверхности линейных уравнений второго порядка
3.6 Классификация линейных уравнений второго порядка
3.7 Приведение к каноническому виду линейного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
4 Задача Коши в классе аналитических функций
4.1 Задача Коши для уравнения типа Ковалевской
4.2 Роль характеристических поверхностей в теории задачи Коши
5 Вспомогательные формулы
5.1 Формула Гаусса – Остроградского
5.2 I формула Грина
5.3 II формула Грина
6 Начально-краевые задачи для волнового уравнения
6.1 Существование решения начально-краевых задач для гиперболических уравнений (в том числе для волнового уравнения)
7 Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа (в том числе для уравнения теплопроводности)
7.1 Существование решения начально-краевых задач для уравнения параболического типа
8 Обобщённые функции
8.1 Правила действий с обобщёнными функциями
8.2 Сходимость в D'
8.3 Дифференцирование обобщённых функций
8.4 Дифференцирование произведения обобщённой функции на бесконечно дифференцируемую функцию
8.5 Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов
8.6 Нахождение фундаментальных решений обыкновенных линейных дифференциальных операторов
9 Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
9.1 Фундаментальное решение оператора Лапласа
9.2 Теорема о представлении гладкой функции в виде суммы трех потенциалов
9.3 Теоремы о среднем для гармонических функций
9.4 Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона при помощи функции Грина
9.5 Свойства функции Грина
9.6 Нахождение функции Грина для шара в R3
9.7 Вычисления ядра Пуассона для шара
9.8 Теоремы о росте гармонических функций
10 Краевые задачи для уравнений параболического типа
10.1 Некоторые свойства преобразования Фурье
10.2 Применение преобразования Фурье к решению линейных дифференциальных уравнений
10.3 Фундаментальное решение оператора теплопроводности
10.4 Доказательство формулы Пуассона (для любой пространственной размерности)
10.5 Теоремы о стабилизации
10.6 Неоднородное уравнение теплопроводности. Принцип Дюамеля
10.7 Принцип максимума в ограниченной области
10.8 Математические модели оценки стоимости вторичных ценных бумаг
10.9 Сведение к уравнению теплопроводности
11 Обобщенные решения уравнений с частными производными
11.1 Производная по Соболеву. Пространства Соболева
11.2 Обобщённое решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа
11.3 Обобщеное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона
11.4 Метод Галёркина
