Учеб. пособие. М.: РУДН, 2008. – 161 с.Пособие посвящено изложению основ метода дифференциальных разностей и его применению к численному решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений для моделирования и проектирования современных оптических устройств на основе тонкопленочных покрытий и дифракционных оптических элементов.
Методы дифференциальных разностей включают в себя различные модификации методов Рунге–Кутта, учитывающие гамильтонову структуру уравнений Максвелла. Данные методы являются предпочтительными в том случае, когда периодическая структура существенно не бинарна. По существу эти методы являются дискретной реализацией метода геометрического интегрирования Уитни.
Для магистров и аспирантов, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика».Общее описание курса
Инновационность курса
Матрицы и дифференциальные уравнения
Системы линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка
Векторно-матричные обозначения
Равномерные нормы векторов и матриц
Бесконечные ряды векторов и матриц
Существование и единственность решений линейной системы уравнений
Матричная экспонента
Функциональные уравнения
Однородные линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Матричная экспонента
Свойства матричной экспоненты
Невырожденность решения
Явная форма решения линейного дифференциального уравнения
Диагональные матрицы
Диагонализация матрицы
Связь между двумя подходами
Вычисление матричной экспоненты с учетом недиагонализуемости
Вычисление матричной экспоненты с привлечением жордановой формы
Представление матричной экспоненты в виде матричного полинома
Примеры вычисления матричных экспонент
Конечно-разностный подход к рассеянию света на оптических решетках
Изложение основ метода
Конечно-разностная в вертикальном направлении формулировка
Теоретичекий базис
Алгоритм решения начальной задачи
Центральная разностная схема
Сплетающие операторы
Корректирующий метод сплетающих операторов второго порядка
Алгоритм Ньюмарка
Алгоритм точного четвертого порядка
Блочно-треугольный UL(LU)-алгоритм
Численные процедуры
Сравнение с другими подходами
Вариационная формулировка рассеяния плоских электромагнитных волн на одномерных дифракционных решетках
Введение
Прямая задача дифракции
Ослабленный метод оптимального проектирования
Вычислительный электромагнетизм с вариационными интеграторами и дискретными дифференциальными формами
Вариационные численные методы и симметрии
Сохранение дискретной дифференциальной структуры
Практические следствия учета геометрической структуры
Перчень основных результатов
Основные выводы
Уравнения Максвелла
От векторных полей к дифференциальным формам
2-формы Фарадея и Максвелла
Электромагнитный вариационный принцип
Вариационное происхождение уравнений Максвелла
Редукция уравнений
Внешнее дискретное исчисление
Логическое обоснование использования внешнего дискретного исчисления в вычислительной электродинамике
Сетки и двойственные сетки
Дискретные дифференциальные формы
Дискретное внешнее дифференцирование
Дискретное отображение Ходжа
Дискретное внутреннее произведение
Дискретное кодифференцирование
Применение дискретного внешнего исчисления
Начальные и граничные условия в дискретном внешнем исчислении
Дискретное интегрирование по частям с учетом ненулевых граничных условий
Применение дискретного внешнего исчисления к уравнениям Максвелла
Прямоугольная сетка
Неструктурированная пространственная сетка с равномерными шагами по времени
Неструктурированная пространственная сетка с асинхронными шагами по времени
Полностью неструктурированная пространственно-временная сетка
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Практические задания
Краткий обзор численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Вычислительные схемы
Погрешность численного решения и методы ее оценки
Общие проблемы реализации численных методов
Тестовые задачи
Задания
Содержание отчета
Литература
Описание курса и программа
