Интегральное исчисление функций одного переменного

Обложка......Page 1
Серия......Page 2
Титульный лист......Page 3
Аннотация и выходные данные......Page 4
Предисловие......Page 5
Основные обозначения......Page 10
1.1. Вводные замечания......Page 13
1.2. Понятия первообразной и неопределенного интеграла......Page 14
1.3. Свойства неопределенного интеграла......Page 19
1.4. Основные неопределенные интегралы......Page 25
1.5. Интегрирование подстановкой и заменой переменного......Page 29
1.6. Интегрирование по частям......Page 38
Д. 1.1. Первообразная непрерывной функции......Page 44
Вопросы и задачи......Page 51
2.1. Дробно-рациональные подынтегральные функции......Page 54
2.2. Интегралы от простейших рациональных дробей......Page 56
2.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие......Page 63
2.4. Интегрирование дробно-рациональных функций......Page 73
Д.2.1. Метод Остроградского......Page 81
Д.2.2. Интегрирование рациональных функций, содержащих биномы......Page 93
Вопросы и задачи......Page 97
3.1. Рациональные функции от радикалов......Page 99
3.2. Интегрирование функций, содержащих радикалы от дробно-линейной функции......Page 101
3.3. Подстановки Эйлера......Page 104
3.4. Другие приемы интегрирования......Page 108
3.5. Тригонометрические и гиперболические подстановки......Page 121
3.6. Интегралы от дифференциального бинома......Page 125
Д.3.1. Геометрический смысл подстановок Эйлера......Page 133
Д.3.2. Об интегрировании функций вида Я (я, у/Рп(х))......Page 136
Вопросы и задачи......Page 145
4.1. Рациональные функции синуса и косинуса......Page 148
4.2. Рациональные степени синуса и косинуса......Page 159
4.3. Экспоненциальные и гиперболические функции......Page 163
4.4. Различные трансцендентные выражения......Page 171
Вопросы и задачи......Page 177
5.1. Понятие определенного интеграла Ньютона......Page 180
5.2. Формула Ньютона — Лейбница......Page 181
5.3. Свойства интеграла Ньютона......Page 185
5.4. Теорема о среднем значении и ее следствия......Page 187
5.5. Интеграл Ньютона с переменными пределами......Page 193
5.6. Геометрическая и механическая интерпретации интеграла Ньютона......Page 196
5.7. Способы вычисления интеграла Ньютона......Page 202
Вопросы и задачи......Page 208
6.1. Интегральная сумма и ее предел......Page 211
6.2. Интеграл Римана......Page 214
6.3. Суммы и интегралы Дарбу......Page 217
6.4. Критерий существования определенного интеграла......Page 222
6.5. Классы интегрируемых функций......Page 227
6.6. Свойства интегрируемых функций......Page 228
6.7. Основные свойства определенного интеграла......Page 231
6.8. Теоремы о среднем значении для определенного интеграла......Page 241
6.9. Определенный интеграл с переменным пределом......Page 245
6.10. Вычисление определенного интеграла......Page 250
Д.6.1. Доказательство теорем о классах интегрируемых функций......Page 260
Д.6.2. Доказательство теорем 6.19 и 6.20......Page 263
Д.6.3. Связь интегралов Ньютона и Римана......Page 267
Д.6.4. Обобщение теорем о среднем значении......Page 269
Вопросы и задачи......Page 273
7.1. Интегралы по бесконечному промежутку......Page 275
7.2. Основные свойства сходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку......Page 283
7.3. Признаки сходимости интегралов по бесконечному промежутку......Page 287
7.4. Интегралы от неограниченных функций......Page 296
7.5. Сходимость интегралов от неограниченных функций......Page 302
7.6. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов......Page 305
7.7. Другие признаки сходимости несобственных интегралов......Page 310
7.8. Примеры исследования несобственных интегралов на сходимость......Page 318
7.9. Преобразование несобственных интегралов......Page 324
7.10. Главные значения несобственных интегралов......Page 330
Вопросы и задачи......Page 333
8.1. Определенные интегралы, зависящие от параметра......Page 336
8.2. Дифференцирование интегралов по параметру......Page 341
8.3. Интегрирование по параметру......Page 345
8.4. Равномерная сходимость несобственных интегралов......Page 347
8.5. Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов......Page 351
8.6. Непрерывность и дифференцируемость несобственных интегралов по параметру......Page 356
8.7. Интегрирование несобственных интегралов по параметру......Page 361
8.8. Эйлеровы интегралы......Page 364
Вопросы и задачи......Page 371
9.1. Общая схема применения интеграла......Page 373
9.2. Длина кривой......Page 374
9.3. Площадь плоской фигуры......Page 384
9.4. Объем тела......Page 400
9.5. Площадь поверхности......Page 410
9.6. Вычисление масс и моментов инерции......Page 419
9.7. Статические моменты и координаты центра масс......Page 427
9.8. Работа, энергия, сила давления......Page 434
Д.9.1. Движение материальной точки в центральном поле тяготения......Page 445
Вопросы и задачи......Page 450
10.1. Существо подхода к численному интегрированию......Page 455
10.2. Формула трапеции......Page 459
10.3. Формула парабол......Page 462
10.4. Формулы прямоугольников......Page 467
10.5. Приближение многочленами высших степеней......Page 471
10.6. Квадратурная формула Гаусса......Page 476
10.7. Практическая оценка погрешности численного интегрирования......Page 482
10.8. Учет особенностей поведения подынтегральной функции......Page 488
10.9. Приближенное вычисление несобственных интегралов......Page 492
10.10. Особенности вычисления неопределенных интегралов......Page 497
Вопросы и задачи......Page 499
Интегралы от алгебраических функций......Page 500
Интегралы от трансцендентных функций......Page 510
Список рекомендуемой литературы......Page 516
Предметный указатель......Page 519
ОГЛАВЛЕНИЕ......Page 524
Выходные данные......Page 528