Introducci ́on
Este texto contiene el material de los cursos A ́lgebra Lineal I y A ́lgebra Lineal II como los he impartido a lo largo de varios an ̃os. Tiene algunas caracter ́ısticas especiales:
Comienza con operaciones asociativas, monoides, tablas de multiplicar. Esto es porque pienso que la definicio ́n de Espacio vectorial puede resultar muy com- plicada para un alumno, y hago esto para que no se pierdan las consecuencias de cada axioma.
En el cap ́ıtulo de Espacios vectoriales, no so ́lo se demuestra la existencia de bases, sino que se da una demostraci ́on de que las bases para un espacio vec- torial tienen el mismo cardinal.
La demostracio ́n es una aplicaci ́on del Lema de Zorn, en donde se puso mucho cuidado en presentar el argumento de manera clara en todos sus detalles.
Se presentan dos cap ́ıtulos acerca de espacios con producto interior. El primer cap ́ıtulo incluye la teor ́ıa que los estudiantes de F ́ısica necesitan con urgencia, mientras que el u ́ltimo cap ́ıtulo usa la teor ́ıa de espacios invariantes. En este cap ́ıtulo se estudian los operadores normales, autoadjuntos, unitarios que son tan importantes para los estudiantes de F ́ısica cu ́antica.
Se hacen ejemplos detallados de c ́alculos de formas cano ́nicas y se hace ́enfasis en la teor ́ıa de diagonalizacio ́n simulta ́nea. Como aplicacio ́n, se presentan las cadenas de Markov, y se caracteriza la situacio ́n en que las potencias de una matriz cuadrada convergen.
Author(s): Hugo Alberto Rincón Mejía
Edition: 2
Publisher: Las prensas de ciencias
Year: 2006
Language: Spanish
Pages: 445
City: Ciudad de México
Indice general
1. Operaciones asociativas 1
1.1. Semigruposymonoides.......................... 1 1.1.1. Tablasdemultiplicar....................... 2 1.1.2. Monoidesconcancelaci ́on .................... 5
1.2. Grupos................................... 6 1.2.1. Subgruposyrestriccio ́ndefunciones. . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Anillos................................... 13 1.3.1. Productodecopiasdeunanillo.................. 15
2. Espacios vectoriales 19
2.1. Espaciosvectorialesysubespacios.................... 19 2.2. Elsubespaciogeneradoporunconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Dependenciaeindependencialineal ................... 32 2.4.Bases.................................... 35 2.5. Conjuntosparcialmenteordenados.................... 46 2.6. LemadeZorn............................... 50 2.7. Dimensio ́n................................. 52
3. Transformaciones lineales 67
3.1. Transformaciones lineales, nu ́cleos e im ́agenes.................................. 67
3.2. Lapropiedaduniversaldelasbases ................... 73
3.3. Lamatrizdeunatransformacio ́nlineal ................. 85
3.4. Sumayproductodematrices ...................... 94
3.5. Lamatrizdecambiodebase....................... 102
4. Sistemas de ecuaciones lineales 111
4.1. Operacioneselementales ......................... 111 4.1.1. Matricesreducidasyescalonadas ................ 118
4.2. Lainversadeunamatriz......................... 123
4.3. Sistemasdeecuaciones .......................... 126
4.4. Espaciosduales .............................. 136
4.4.1. C ́alculo de la base dual para un espacio de dimensio ́nfinita.......................... 137
4.4.2. Ladimensio ́ndelespaciodual .................. 140
4.5. Latranspuestadeunafuncio ́nlineal .................. 143
5. Espacios con producto interior I 151
5.1. Productosinteriores............................ 151
5.2. La norma inducida por un producto
interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.2.1. ElTeoremadeCauchy-Schwarz ................. 154
5.3. Latrazaylaadjuntadeunamatriz................... 156
5.4. Ortogonalidad y el Teorema de
Gram-Schmidt............................... 158 5.4.1. Matricesrespectoaunabaseortonormal . . . . . . . . . . . . 168 5.4.2. Representaci ́on de elementos del espacio dual . . . . . . . . . 169
5.5. Eloperadoradjunto ........................... 169
5.6. Propiedades del operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.7. Transformaciones lineales y productos
interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.8. OperadoresunitariosenR2........................ 177
5.9. Movimientosr ́ıgidos(Isometr ́ıas) .................... 179
6. Determinantes 185
6.1. Funcionesn-lineales............................ 185 6.1.1. Factorizacio ́n u ́nica como producto de ciclos . . . . . . . . . . 189 6.1.2. Estructura c ́ıclica y signo de una permutaci ́on . . . . . . . . . 195
6.2. El desarrollo por renglones del
determinante ............................... 213
6.3. Invertibilidadyeldeterminante ..................... 218
6.4. La regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.5. Similitud.................................. 226
7. Polinomios con coeficientes en R 231 7.1. Polinomiosyelalgoritmodeladivisi ́on . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 7.2. LaestructuraalgebraicadeR[�]..................... 238
viii
8. Vectores propios y diagonalizaci ́on 247
8.1. Vectoresyvalorespropios ........................ 247
8.2. Elpolinomiocaracter ́ıstico........................ 250
8.3. Espaciospropiosydiagonalizabilidad .................. 256
8.4. Matricesdiagonalizables ......................... 264
8.5. Elpolinomiom ́ınimo ........................... 270
8.5.1. El polinomio m ́ınimo y diagonalizabilidad . . . . . . . . . . . 273
9. Subespacios T-invariantes 283
9.1. Subespacios��invariantes........................ 283
9.2. SubespaciosT-c ́ıclicos .......................... 289
9.3. Polinomiocaracter ́ısticoypolinomio
m ́ı n i m o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 2
9.4. ElTeoremadeCayley-Hamilton..................... 296
9.5. Diagonalizacio ́nsimult ́anea........................ 298
9.5.1. El centralizador de un operador diagonalizable . . . . . . . . . 303
10.Formas cano ́nicas 313
10.1.Lemasb ́asicosdedescomposici ́on .................... 313 10.2.Lamatrizcompan ̃eradeunpolinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 10.3. Matrices diagonales por bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 10.4.Elp-zoclo ................................. 320 10.5.Sumandosc ́ıclicos............................. 350 10.6.Espacioscociente ............................. 351 10.7.Formacan ́onicaracional ......................... 357
10.7.1.Diagramadepuntos ....................... 359 10.8.M ́asacercadelosdiagramasdepuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 10.9.Formacan ́onicadeJordan ........................ 373 10.10.CadenasdeMarkov............................ 382
10.10.1.L ́ımites............................... 382 10.10.2.Procesos aleatorios y Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . 389
11.Espacios con producto interior II 407
11.1. Operadores normales, autoadjuntos,
unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
11.2.Operadoresnormales,�=C....................... 408 11.3.Operadoresautoadjuntos,�=R .................... 410 11.4.Operadoresunitarios ........................... 413 11.5.Proyecciones................................ 413
ix
11.5.1. Proyecciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 11.6.Elteoremaespectral ........................... 418
Algunas notaciones utilizadas en el libro 423
Bibliograf ́ıa ́Indice alfab ́etico
429 430
