Предлагаемое учебное пособие, по замыслу авторов, может служить студентам математических и физико-математических факультетов педагогических вузов руководством к практическим занятиям по курсу математического анализа. Оно будет также полезным молодым преподавателям для подготовки и проведения семинаров по данной учебной дисциплине. Надобность в таком пособии вызвана тем, что существующие задачники по математическому анализу не могут в полной мере отвечать этому назначению. Часто их содержание выходит за пределы действующих примерных программ по математическому анализу для направлений педагогического образования, поэтому студенту I-II курсов педвуза зачастую трудно в них ориентироваться.
Таким образом, перед авторами стояла задача создать учебное пособие, материал которого был бы ограничен рамками действующих примерных программ по математическому анализу для студентов, обучающихся по направлениям бакалавриата:
050100 — Педагогическое образование (профили «Математика», «Информатика», «Математика и информатика», «Информатика и математика», «Математика и экономика», «Информатика и экономика»),
010100 — Математика (профиль «Преподавание математики и информатики»).
В этом, на взгляд авторов, нашёл своё воплощение принцип соответствия учебно-методических работ актуальным направлениям развития отечественной образовательной системы, включая реализацию компетентностного подхода и развитие блочно-модульной структуры обучения.
Предлагаемое учебное пособие полностью соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования (ФГОС НПО) и примерным образовательным программам по указанным направлениям и их различным профилям.
Пособие содержит 80 тем практических занятий по математическому анализу для студентов I и II курсов. В начале каждой темы имеется краткий теоретический материал, включающий в себя определения, обозначения, формулировки теорем и формулы, необходимый при решении задач по данной теме. Каждая тема в пособии снабжена системой задач в количестве, достаточном для изучения данной темы на двухчасовом практическом занятии. Одна-две задачи в теме приводятся с подробными решениями, остальные задачи, как правило, снабжены ответами. В конце темы имеются упражнения, которые можно использовать для самостоятельной работы студентов, в том числе — в качестве домашнего задания по изучаемой теме.
Большинство заданий в пособии заимствовано из известных задачников по математическому анализу (см. список литературы). Вместе с тем в пособии имеется и целый ряд оригинальных задач и упражнений.
Author(s): О.Н. Быкова, С.Ю. Колягин, Б.Н. Кукушкин
Publisher: МПГУ
Year: 2011
Предисловие.
Действительные числа. Модуль действительного числа.
Метод математической индукции.
Ограниченность числовых множеств. Границы и грани.
Функция. График функции.
Основные типы поведения функций.
Основные элементарные функции. Частичное исследование функций.
Линейные и модульные преобразования графиков.
Сложная функция. «Сложение» и «умножение» графиков.
Обратная функция и её свойства.
Числовая последовательность.
Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.
Вычисление пределов последовательностей.
Предел функции. Теоремы о пределах функций.
Вычисление пределов функции. Первый замечательный предел.
Вычисление пределов с использованием «табличных» пределов.
Сравнение бесконечно малых. Вычисление пределов с помощью сравнения бесконечно малых. Семестровое задание по технике вычисления пределов.
Односторонние пределы. Предел по множеству.
Непрерывность функции.
Непрерывность сложной и обратной функций.
Односторонняя непрерывность. Точки разрыва.
Равномерная непрерывность функции на множестве.
Функции, непрерывные на отрезках.
Дифференцируемость и производная.
Табличные производные и правила дифференцирования.
Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль.
Техника дифференцирования.
Дифференциал. Применение дифференциала в приближённых вычислениях.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Правила Лопиталя. Раскрытие неопределённостей.
Исследование функции на монотонность. Экстремум.
Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.
Полное исследование функции и построение её графика.
Наименьшее и наибольшее значения функции.
Формула Тейлора.
Геометрические и физические приложения производной.
Первообразная и неопределённый интеграл.
Вычисление неопределённых интегралов заменой переменной и по частям.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей.
Интегрирование тригонометрических выражений. Семестровое задание по технике интегрирования.
Интегральная сумма Римана. Суммы Дарбу. Определённый интеграл.
Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Вычисление определённых интегралов по частям и заменой переменной.
Вычисление площадей плоских фигур.
Вычисление длин плоских кривых.
Вычисление объёмов и площадей поверхностей тел вращения.
Физические приложения определённого интеграла.
Несобственные интегралы.
Исследование сходимости несобственных интегралов.
Числовые ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Сравнение положительных рядов.
Признаки Даламбера и Коши.
Интегральный признак сходимости. Критерий Коши.
Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница.
Абсолютная и условная сходимости.
Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость функциональной последовательности.
Равномерная сходимость функциональных рядов Свойства равномерно сходящихся рядов непрерывных функций. .
Степенные ряды. Промежуток сходимости.
Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора.
Почленное дифференцирование и интегрирование рядов. Некоторые приложения степенных рядов.
Ряды Фурье. Разложение функций в ряд Фурье.
Неполные ряды Фурье. Разложение по косинусам и синусам.
Точечные множества на плоскости и в пространстве. Функции нескольких переменных.
Предел функции нескольких переменных.
Непрерывность функции нескольких переменных.
Частные производные. дифференцируемость функции не скольких переменных.
Частные производные и дифференциалы высших порядков. Производная по направлению. Градиент.
Формула Тейлора для функции двух переменных Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Экстремум функции нескольких переменных.
Наименьшее и наибольшее значения функции двух переменных.
Неявные функции.
Двойной интеграл. Сведение двойного интеграла к повторному.
Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.
Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
Вычисление объёмов пространственных тел с помощью двойного интегралов.
Вычисление площадей поверхностей с помощью двойного интеграла.
Тройной интеграл.
Криволинейный интеграл. Независимость криволинейного интеграла от формы пути интегрирования.
Формула Грина. Вычисление площадей плоских фигур с помощью криволинейного интеграла.
Физические приложения кратных и криволинейных интегралов.
Библиографический список.
