В учебнике известного советского математика И. П. Натансона рассмотрены измеримые множества и функции (одной и нескольких переменных); интеграл Лебега и его обобщения; суммируемые функции; интеграл Стилтьеса; абсолютно непрерывные функции; сингулярные интегралы; функции с неограниченными областями задания. Книга соответствует учебным программам университетов. Включены (петитом) ряд вопросов, выходящих за пределы программы. Отличительная особенность учебника — ясность и общедоступность даже самых сложных рассуждений. Приведено
большое количество упражнений, в том числе весьма трудных.
Учебник предназначен для студентов вузов.
Author(s): Натансон И. П.
Edition: 5-е изд. стереотип.
Publisher: Лань
Year: 2008
Language: Russian
Pages: 560
City: Санкт-Петербург
Из предисловия к первому изданию ......Page 7
Предисловие ко второму изданию ......Page 8
§ 1. Операции над множествами ......Page 9
§ 2. Взаимнооднозначное соответствие ......Page 13
§ 3. Счетные множества ......Page 16
§ 4. Мощность континуума ......Page 21
§ 5. Сравнение мощностей ......Page 29
§ 1. Предельная точка ......Page 37
§ 2. Замкнутые множества ......Page 40
§ 3. Внутренние точки и открытые множества ......Page 46
§ 4. Расстояния и отделимость ......Page 49
§ 5. Структура открытых и замкнутых ограниченных множеств ......Page 53
§ 6. Точки конденсации. Мощность замкнутого множества ......Page 58
§ 1. Мера ограниченного открытого множества ......Page 63
§ 2. Мера ограниченного замкнутого множества ......Page 69
§ 3. Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества ......Page 73
§ 4. Измеримые множества ......Page 77
§ 5. Измеримость и мера как инварианты движения ......Page 82
§ 6. Класс измеримых множеств ......Page 87
§ 7. Общие замечания о проблеме меры ......Page 92
§ 8. Теорема Витали ......Page 94
§ 1. Определение и простейшие свойства измеримой функции ......Page 99
§ 2. Дальнейшие свойства измеримых функций ......Page 104
§ 3. Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере ......Page 106
§ 4. Структура измеримых функций ......Page 113
§ 5. Теоремы Вейерштрасса ......Page 119
§ 1. Определение интеграла Лебега ......Page 126
§ 2. Основные свойства интеграла ......Page 131
§ 3. Предельный переход под знаком интеграла ......Page 138
§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега ......Page 141
§ 5. Восстановление первообразной функции ......Page 146
§ 1. Интеграл неотрицательной измеримой функции ......Page 150
§ 2. Суммируемые функции любого знака ......Page 159
§ 3. Предельный переход под знаком интеграла ......Page 166
§ 1. Основные определения. Неравенства. Норма ......Page 180
§ 2. Сходимость в среднем ......Page 183
§ 3. Ортогональные системы ......Page 191
§ 4. Пространство ℓ_2 ......Page 201
§ 5. Линейно независимые системы ......Page 209
§ 6. Пространства L_p и ℓ_р ......Page 213
§ 1. Монотонные функции......Page 221
§ 2. Отображение множеств. Дифференцирование монотонной функции ......Page 224
§ 3. Функции с конечным изменением ......Page 234
§ 4. Принцип выбора Хелли ......Page 240
§ 5. Непрерывные функции с конечным изменением ......Page 243
§ 6. Интеграл Стилтьеса ......Page 248
§ 7. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса ......Page 254
§ 8. Линейные функционалы ......Page 258
§ 1. Абсолютно непрерывные функции ......Page 262
§ 2. Дифференциальные свойства абсолютно непрерывных функций ......Page 265
§ 3. Непрерывные отображения ......Page 267
§ 4. Неопределенный интеграл Лебега ......Page 271
§ 5. Замена переменной в интеграле Лебега ......Page 281
§ 6. Точки плотности. Аппроксимативная непрерывность ......Page 285
§ 7. Добавления к теории функций с конечным изменением и интегралов Стилтьеса ......Page 288
§ 8. Восстановление первообразной функции ......Page 292
§ 1. Понятие сингулярного интеграла ......Page 298
§ 2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке ......Page 302
§ 3. Приложения в теории рядов Фурье ......Page 308
§ 4. Дальнейшие свойства тригонометрических рядов и рядов Фурье ......Page 316
§ 5. Производные Шварца и выпуклые функции ......Page 323
§ 6. Единственность разложения функции в тригонометрический ряд ......Page 335
§ 1. Замкнутые множества ......Page 347
§ 2. Открытые множества ......Page 349
§ 3. Теория измерения плоских множеств ......Page 353
§ 4. Измеримость и мера как инварианты движения ......Page 361
§ 5. Связь меры плоского множества с мерами его сечений ......Page 367
§ 1. Измеримые функции. Распространение непрерывных функций ......Page 372
§ 2. Интеграл Лебега и его геометрический смысл ......Page 376
§ 3. Теорема Фубини ......Page 379
§ 4. Перемена порядка интегрирований ......Page 385
§ 1. Абсолютно-непрерывные функции множества ......Page 388
§ 2. Неопределенный интеграл и его дифференцирование ......Page 394
§ 3. Обобщение полученных результатов ......Page 397
§ 1. Упорядоченные множества. Порядковые типы ......Page 401
§ 2. Вполне упорядоченные множества ......Page 406
§ 3. Порядковые числа ......Page 410
§ 4. Трансфинитная индукция ......Page 413
§ 5. Второй числовой класс ......Page 414
§ 6. Алефы ......Page 416
§ 7. Аксиома и теорема Цермело ......Page 418
§ 1. Классы Бэра ......Page 422
§ 2. Непустота классов Бэра ......Page 427
§ 3. Функции 1-го класса ......Page 433
§ 4. Полунепрерывные функции ......Page 443
§ 1. Введение ......Page 452
§ 2. Определение интеграла Перрона ......Page 453
§ 3. Основные свойства интеграла Перрона ......Page 455
§ 4. Неопределенный интеграл Перрона ......Page 458
§ 5. Сравнение интегралов Перрона и Лебега ......Page 461
§ 6. Абстрактно заданный интеграл и его обобщение ......Page 465
§ 7. Узкий интеграл Данжуа ......Page 471
§ 8. Теорема Г. Хаке ......Page 474
§ 9. Теорема П. С. Александрова — Г. Ломана ......Page 481
§ 10. Понятие о широком интеграле Данжуа ......Page 486
§ 1. Мера неограниченного множества ......Page 489
§ 2. Измеримые функции ......Page 491
§ 3. Интегралы по неограниченным множествам ......Page 492
§ 4. Функции, суммируемые с квадратом ......Page 493
§ 5. Функции с конечным изменением. Интегралы Стилтьеса ......Page 495
§ 6. Неопределенные интегралы и абсолютно непрерывные функции множества ......Page 498
§ 1. Метрические и, в частности, линейные нормированные пространства ......Page 501
§ 2. Компактность ......Page 508
§ 3. Условия компактности в некоторых пространствах ......Page 513
§ 4. Банаховский "принцип неподвижной точки" и некоторые его приложения ......Page 530
I. Длина дуги кривой ......Page 541
II. Пример Штейнгауза ......Page 545
III. Некоторые дополнительные сведения о выпуклых функциях ......Page 547
Теорема Хаусдорфа ......Page 553
